Question

4．等差數(shù)列{a_n}中，a_n+1＞a_n（n∈N），a₂，a₄為方程x²-10x+21=0的兩根，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3ⁿ+c（c為常數(shù)）．
（1）求c的值；
（2）證明：對(duì)任意n∈N^*，S_n-T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3ⁿ+c，得到T_n-1=3^n-1+c，求出b_n=2•3^n-1．繼而求出T_n=3ⁿ-1，問(wèn)題得以解決，
（2）a₂，a₄為方程x²-10x+21=（x-3）（x-7）=0的兩根，得到a₂=3，a₄=7，求出S_n，繼而得到S_n-T_n=n²-3ⁿ+1，由函數(shù)的性質(zhì)可知n²-3ⁿ＜0，對(duì)于n∈N^*恒成立，問(wèn)題得以證明．

解答 解：（1）等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3ⁿ+c，
∴T_n-1=3^n-1+c，
∴b_n=T_n-T_n-1=2•3^n-1．
∴b₁=2，q=3，
∴T_n=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1，
∴c=-1，
（2）等差數(shù)列{a_n}中，a_n+1＞a_n（n∈N），a₂，a₄為方程x²-10x+21=（x-3）（x-7）=0的兩根，
∴a₂=3，a₄=7，
∴d=2，a₁=1，
∴S_n=1+3+5+…+2n-1=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴S_n-T_n=n²-3ⁿ+1＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題．