Question

10．正四面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)．
（1）設(shè)“V_P-ABC≥$\frac{1}{4}$V”為事件X，求概率P（X）
（2）設(shè)“V_P-ABC≥$\frac{1}{4}$V且V_P-BCD≥$\frac{1}{4}$V”為事件Y，求概率P（Y）

Answer 1

分析 首先確定點(diǎn)P的區(qū)域，即區(qū)域D；然后確定所求的事件中的點(diǎn)所在區(qū)域d；分別計(jì)算區(qū)域D和d的體積；最后計(jì)算所求概率．

解答 解：（1）分別取DA、DB、DC上的點(diǎn)E、F、G，
并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，
并連結(jié)EF、FG、GE，則平面EFG∥平面ABC．
當(dāng)點(diǎn)P在正四面體DEFG內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足V_P-ABC≥$\frac{1}{4}$V，
故P（X）=$\frac{{V}_{D-EFG}}{{V}_{D-ABC}}$=$（\frac{DE}{DA}）^{3}$=$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$；
（2）在AB上取點(diǎn)H，使AH=3HB，在AC上取點(diǎn)I，使AI=3IC，在AD上取點(diǎn)J，使AJ=3JD，則點(diǎn)P在正四面體AHIJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，
滿足V_P-BCD≥$\frac{1}{4}$V．
所以，當(dāng)點(diǎn)P在正四面體DEFG的內(nèi)部及正四面體AHIJ的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，
即點(diǎn)P在正四面體EMNJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)滿足V_P-ABC≥$\frac{1}{4}$V且V_P-BCD≥$\frac{1}{4}$V，
于是P（Y）=$\frac{{V}_{J-EMN}}{{V}_{D-ABC}}$=$（\frac{JE}{DA}）^{3}$=$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P所表示的區(qū)域，是綜合性題目．