Question

已知函數f（x）=ln（3-x）+x+2
（1）設函數g（x）=f（x）+mx（m∈R），若g（x）在區(qū)間（-∞，2]上是增函數，求實數m的取值范圍；
（2）設h（x）=f（-x），將函數h（x）的圖象向右平移3個單位，再向下平移5個單位得到ω（x）的圖象．
①試確定函數ω（x）的單調區(qū)間；
②證明：ln（n!）²＜n（n+1）（其中n∈Z，n≥1，n!=1×2×3×…×n）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的圖象與圖象變化

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數，分離參數，m＞

1

3-x

-1，x∈（-∞，2]上恒成立，構造函數F（x）=

1

3-x

-1，再利用導數，求出函數F（x）_max，問題得以解決；
（2）①根據圖象的平移得到函數ω（x）的圖象，在利用導數求出函數的單調區(qū)間即可，
②利用數學歸納法證明即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）+mx=ln（3-x）+x+2+mx，
∴函數的定義域為（-∞，3）
∴g′（x）=

-1

3-x

+1+m，
∵g（x）在區(qū)間（-∞，2]上是增函數，
∴g′（x）=

-1

3-x

+1+m＞0，在x∈（-∞，2]上恒成立，
即m＞

1

3-x

-1，x∈（-∞，2]上恒成立，
設F（x）=

1

3-x

-1，
則F′（x）=

1

(3-x)2

＞0恒成立，
∴F（x）=

1

3-x

-1，在（-∞，2]上為增函數，
∴F（x）_max=F（2）=0，
∴m＞0，
故實數m的取值范圍為（0，+∞），
（2）①∵h（x）=f（-x）=ln（3+x）-x+2，
將h（x）的圖象向右平移3個單位，再向下平移5個單位得到ω（x）的圖象．
∴ω（x）=ln（3+x-3）-（x-3）+2-5=lnx-x，
∴函數ω（x）的定義域為（0，+∞），
∴ω′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令ω′（x）=0，解得x=1，
當ω′（x）＞0時，即0＜x＜1，函數ω（x）為增函數，
當ω′（x）＜0時，即x＞1，函數ω（x）為減函數
綜上所述，函數ω（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）為減函數，
②用數學歸納法證明，ln（n!）²＜n（n+1），
1°當n=1時，左邊=ln1=0，右邊=2，不等式成立，
2°假設當n=k時不等式成立，即ln（k!）²＜k（k+1），
那么當n=k+1時，ln（k!）²=ln（k!）²+ln（k+1）²＜k（k+1）+ln（k+1）^2₌k（k+1）+2ln（k+1）＜k（k+1）+2（k+1）=（k+1）（k+2）
所以當n=k+1時不等式也成立，
由1°2°可知，ln（n!）²＜n（n+1）（其中n∈Z，n≥1，n!=1×2×3×…×n）

點評：本題考查了導數和函數的單調性最值的關系，以及求參數的取值范圍，恒成立的問題，以及不等式的證明，培養(yǎng)了學生的轉化能力，運算能力，屬于難題