Question

14．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，點（4，2）在C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，且直線l與雙曲線C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用雙曲線的離心率，以及雙曲線經(jīng)過的點，求解雙曲線的幾何量，然后得到雙曲線的方程．
（Ⅱ）設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，通過韋達定理求解K_OM，然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．

解答 （Ⅰ）解：由題意得，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
把直線y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-8=0，
故x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2kb}{1-2{k}^{2}}$，y_M=kx_M+b=$\frac{1-2{k}^{2}}$，
于是在OM的斜率為：K_OM=$\frac{1}{2k}$，即K_OM•k=$\frac{1}{2}$．
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．

點評 本題考查雙曲線方程的綜合應用，雙曲線的方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．