Question

13．已知線段AB的端點(diǎn)B（4，6），端點(diǎn)A在圓（x-4）²+y²=100上移動(dòng)．
（1）若線段AB的中點(diǎn)為M，那么點(diǎn)M的軌跡C是什么曲線
（2）若直線l：mx-y+1-m=0，求直線1被曲線C截得的最長(zhǎng)和最短的弦的長(zhǎng)及此時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M，A的坐標(biāo)，確定動(dòng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的關(guān)系，利用端點(diǎn)A在圓（x-4）²+y²=100上運(yùn)動(dòng)，可得軌跡方程．
（2）將直線l的方程變形提出m，根據(jù)直線方程的斜截式，求出直線恒過(guò)點(diǎn)（1，1），直線l截圓所得的弦最長(zhǎng)時(shí)，一定過(guò)圓心；當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的斜率，即可求得直線方程．

解答 解：（1）設(shè)線段AB中點(diǎn)為M（x，y），A（m，n），則m=2x-4，n=2y-6
∵端點(diǎn)A在圓（x-4）²+y²=100運(yùn)動(dòng)，
∴（m-4）²+n²=100，
∴（2x-8）²+（2y-6）²=100
∴（x-4）²+（y-3）²=25
∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡是以（4，3）為圓心，5為半徑的圓．
（2）∵直線L：mx-y+1-m=0即為y=m（x-1）+1
∴直線l恒過(guò)（1，1），在圓（x-4）²+（y-3）²=25的內(nèi)部
被圓截得的弦最長(zhǎng)的直線一定過(guò)圓心，方程為y-1=$\frac{3-1}{4-1}$（x-1），即2x-3y+1=0，此時(shí)m=$\frac{2}{3}$；
它的圓心為C（4，3），由弦長(zhǎng)最短，可得最短時(shí)，直線的斜率為-$\frac{3}{2}$，故直線的方程為3x+2y-5=0，此時(shí)m=-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查代入法的運(yùn)用，確定動(dòng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的關(guān)系是關(guān)鍵．判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般利用圓心與直線的距離與半徑的大小關(guān)系加以判斷，有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為直線恒過(guò)的點(diǎn)來(lái)判斷．