Question

17．已知三個不等式①|2x-4|＜5-x；②$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1；③2x²+mx-1＜0．
（1）若同時滿足①、②的x的值以滿足③，求實數m的取值范圍；
（2）若不等式③的解集非空也滿足③的x至少滿足①和②中的一個，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，同時滿足①、②的x的值以滿足③，實際是求①②的交集是③的子集．
（2）由題意，③的x至少滿足①和②中的一個，說明③可以滿足②①的并集．

解答 解：（1）對于①有：x-5＜2x-4＜5-x⇒-1＜x＜3；
 對于②有：$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1⇒$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$-1≥0⇒0≤x＜1或2＜x≤4
那么①②的交集x的范圍為：0≤x＜1或2＜x＜3
由題意，同時滿足①、②的x的值以滿足③，
∴①②的交集是③的子集．
對于③：令f（x）=2x²+mx-1＜0
根據一元二次方程根的分布可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$
解得：$m≤-\frac{17}{3}$
（2）由題意：③2x²+mx-1＜0．
③的解集是非空集合，
∴△＞0，
至少滿足①和②中的一個，
∴③的解集是[-1，4]，
令f（x）=2x²+mx-1，
根據一元二次方程根的分布：
則有：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{△＞0}\\{f（4）≥0}\\{-1＜-\frac{2a}＜4}\end{array}\right.$
解得：$-\frac{31}{4}≤m≤1$
所以實數m的取值范圍是[$-\frac{31}{4}$，1]．

點評 本題考查了不等式的解法，題中隱含交集的運算和子集的關系．讀懂題意，理解題意是解題的關系．屬于中檔題．