12．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，且a2+3b2=3，若$\sqrt{5}$a+b≤m恒成立．
（1）求m的最小值；
（2）若2|x-1|+|x|≥$\sqrt{5}$a+b對(duì)a＞0，b＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

分析 （1）使用柯西不等式求出$\sqrt{5}$a+b的最大值極為m的最小值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知2|x-1|+|x|≥4，去絕對(duì)值符號(hào)解不等式即可．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，
（a2+3b2）（5+$\frac{1}{3}$）≥（$\sqrt{5}$a+b）2，
∴$\sqrt{5}$a+b≤$\sqrt{（{a}^{2}+3^{2}）（5+\frac{1}{3}）}$=$\sqrt{3×\frac{16}{3}}$=4．
∴m的最小值為4．
（2）∵2|x-1|+|x|≥$\sqrt{5}$a+b對(duì)a＞0，b＞0恒成立，$\sqrt{5}a$+b的最大值為4，
∴2|x-1|+|x|≥4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x-1）+x≥4}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2-2x+x≥4}\\{0≤x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2-2x-x≥4}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
解得x≤-$\frac{2}{3}$或x≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

2．已知偶函數(shù)f（x），當(dāng) x∈[0，2）時(shí)，f（x）=sinx，當(dāng) x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）=log2x，則f（-$\frac{π}{3}$）+f（4）=（　　）
A．$-\sqrt{3}+2$B．1C．3D．$\frac{\sqrt{3}}{2}+2$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．（1）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=3an+2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=$\frac{2}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3}$，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（3）已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n2+1，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（4）已知數(shù)列{an}滿足an=$\left\{\begin{array}{l}{a_{n+1}}-2，n為奇數(shù)\\ \frac{1}{2}{a_{n+1}}，n為偶數(shù)\end{array}$，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．已知A={x|x-5＜2x-4＜5-x}，B={x|x2-3x≤0，x∈R}，C={x|2x2+mx-1＜0，x∈R}，若對(duì)任意x∈A∩B都有x∈C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當(dāng)PD=2AB，且E為PB的中點(diǎn)，求二面角B-AE-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．已知三個(gè)不等式①|(zhì)2x-4|＜5-x；②$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1；③2x2+mx-1＜0．
（1）若同時(shí)滿足①、②的x的值以滿足③，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若不等式③的解集非空也滿足③的x至少滿足①和②中的一個(gè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P（不為橢圓C的左、右頂點(diǎn)），直線l與直線x=2交于點(diǎn)A，直線l與直線x=-2交于點(diǎn)B，請(qǐng)問(wèn)∠AFB是否為定值？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．定義在R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d同時(shí)滿足以下條件：
①f（x） 在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
②f′（x）是偶函數(shù)；
③f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（1）求函數(shù)f（x） 的解析式；
（2）設(shè)g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

2．已知直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)（-1，1），則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

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