Question

11．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是（2）（3）．
（1）A′C⊥BD；
（2）∠BA′C=90°；
（3）四面體A′-BCD的體積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 折疊前AB⊥AD，折疊后CD⊥平面A'BD，取BD的中點(diǎn)O，推導(dǎo)出A'O⊥平面BCD，OC不垂直于BD．由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵折疊前AB=AD=1，BD=$\sqrt{2}$，即AB⊥AD，
折疊后平面A'BD⊥平面BCD，且CD⊥BD，
故CD⊥平面A'BD，取BD的中點(diǎn)O，∵A'B=A'D，
∴A'O⊥BD．又平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，
∴A'O⊥平面BCD．
∵CD⊥BD，
∴OC不垂直于BD．假設(shè)A'C⊥BD，
∵OC為A'C在平面BCD內(nèi)的射影，
∴OC⊥BD，矛盾，∴A'C不垂直于BD，故A錯(cuò)誤；
∵CD⊥BD，平面A'BD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面A'BD，A'C在平面A'BD內(nèi)的射影為A'D．
∵A'B=A'D=1，BD=$\sqrt{2}$，
∴A'B⊥A'D，A'B⊥A'C，∴∠BA′C=90°，故（2）正確；
∵A′C與平面A'BD不垂直，故A′C與BD不垂直，故（1）錯(cuò)誤；
V${\;}_{{A}^{'}-BCD}$=V${\;}_{C-{A}^{'}BD}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△{A}^{'}BD}$•CD=$\frac{1}{6}$，故（3）正確．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．