Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式：f（x）≥6-|2x-5|；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤4的解集為[-1，7]，且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a，求證：$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}≥6$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值的意義表示成分段函數(shù)形式，解不等式即可．
（2）根據(jù)不等式的解集求出a=3，利用1的代換結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即可．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)a=2時(shí)，不等式：f（x）≥6-|2x-5|，可化為|x-2|+|2x-5|≥6．
①x≥2.5時(shí)，不等式可化為x-2+2x-5≥6，∴x≥$\frac{13}{3}$；
②2≤x＜2.5，不等式可化為x-2+5-2x≥6，∴x∈∅；
③x＜2，不等式可化為2-x+5-2x≥6，∴x≤$\frac{1}{3}$，
綜上所述，不等式的解集為（-$∞，\frac{1}{3}$]$∪[\frac{13}{3}，+∞）$；
（Ⅱ）證明：不等式f（x）≤4的解集為[a-4，a+4]=[-1，7]，∴a=3，
∴$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}$）（2s+t）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{t}{s}$+$\frac{16s}{t}$）≥6，當(dāng)且僅當(dāng)s=$\frac{1}{2}$，t=2時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解和應(yīng)用，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式，利用1的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．