Question

設(shè)是函數(shù)的一個極值點.

（1）求與的關(guān)系式（用表示）；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；

（2）① 當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

② 當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得.（2）第二問關(guān)鍵是分離參數(shù)，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：（1）∵

∴

由題意得：，即，

∴且

令得，

∵是函數(shù)的一個極值點.

∴，即 故與的關(guān)系式

（2） ① 當(dāng)時，，由得單調(diào)遞增區(qū)間為：；

由得單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

② 當(dāng)時，，由得單調(diào)遞增區(qū)間為：；

由得單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

（3） 由（2）知：當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

在上的值域為

易知在上是增函數(shù)

在上的值域為

由于，又因為要存在，

使得成立，所以必須且只須， 解得：

所以：的取值范圍為

考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.（3）函數(shù)的恒成立問題.