Question

14．已知函數(shù)f（x）定義在R上，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f′（x）＜$\frac{1}{2}$，f（1）=1，則不等式f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為（　　）

• A． {x|x＜-1}
• B． {x|x＞1}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|-1＜x＜1}

Answer 1

分析 不等式可整理為f（x）-$\frac{x}{2}$＜$\frac{1}{2}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$，通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性求出解集．

解答 解：f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）-$\frac{x}{2}$＜$\frac{1}{2}$，
令g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$，g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴g（x）＜g（1），
g'（x）=f'（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）為減函數(shù)，
∴x＞1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)的構(gòu)造和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用．