Question

已知

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，sin

x

2

），若f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若x∈[-

π

3

，

π

4

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知中

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，sin

x

2

），f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，及向量模的運(yùn)算公式，結(jié)合三角函數(shù)的和差角公式，可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，分析x∈[-

π

3

，

π

4

]時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，sin

x

2

），
∴f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cos

3

2

xcos

x

2

+sin

3

2

xsin

x

2

-

(cos 3 2 x+cos x 2 )2+(sin 3 2 x+sin x 2 )2

=cos（

3

2

x-

x

2

）-

2+2cos( 3 2 x- x 2 )

=cosx-

2+2cosx

=cosx-

2

1+cosx

=2cos²

x

2

-2|cos

x

2

|-1，
令t=|cos

x

2

|，t∈[0，1]，
則y=f（x）=2t²-2t-1，
當(dāng)

x

2

∈[kπ，kπ+

π

3

]即x∈[2kπ，2kπ+

2π

3

]，k∈Z時(shí)，t=|cos

x

2

|為減函數(shù)，且t∈[

1

2

，1]，y=2t²-2t-1為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)

x

2

∈[kπ+

π

3

，kπ+

π

2

]即x∈[2kπ+

2π

3

，2kπ+π]，k∈Z時(shí)，t=|cos

x

2

|為減函數(shù)，且t∈[0，

1

2

]，y=2t²-2t-1為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)

x

2

∈[kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

]即x∈[2kπ+π，2kπ+

4π

3

]，k∈Z時(shí)，t=|cos

x

2

|為增函數(shù)，且t∈[0，

1

2

]，y=2t²-2t-1為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)

x

2

∈[kπ+

2π

3

，kπ+π]即x∈[2kπ+

4π

3

，2kπ+2π]，k∈Z時(shí)，t=|cos

x

2

|為增函數(shù)，且t∈[

1

2

，1]，y=2t²-2t-1為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，由（1）得x∈[-

π

3

，0]時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，x∈[0，

π

4

]時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值-1，
又由f（-

π

3

）=

1

2

-

3

，f（

π

4

）=

2

2

-

2+ 2

，

1

2

-

3

＜

2

2

-

2+ 2

，
∴函數(shù)f（x）的最小值

1

2

-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量大，轉(zhuǎn)化困難，綜合性強(qiáng)，屬于難題．