Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f（3+x）=f（x），f（2）=-5，數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，且S_n=2a_n+n（其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和），則f（a₄）+f（a₅）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先確定f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63，由此即可求得結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）且f（0）=0，
又∵f（3+x）=f（x），
∴f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，
∴f（2）=f（-1）=-5，
∵a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₂=-3，
∴a₃=-7，a₄=-15，
∴a₅=-31，
∴f（a₄）+f（a₅）=f（-15）+f（-31）=f（0）+f（-1）=0+f（2）=-5，
故答案為：-5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定f（x）是以3為周期的周期函數(shù)是關(guān)鍵．