求函數(shù)的定義域.

如圖,經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M、N (異于村莊A),要求PM＝PN＝MN＝2(單位:千米).如何設(shè)計(jì), 可以使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))．

定義函數(shù)(為定義域)圖像上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的的模.若模存在最大值，則稱之為函數(shù)的長(zhǎng)距；若模存在最小值，則稱之為函數(shù)的短距.
(1)分別判斷函數(shù)與是否存在長(zhǎng)距與短距，若存在，請(qǐng)求出;
(2)求證：指數(shù)函數(shù)的短距小于1;
(3)對(duì)于任意是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的短距不小于2，若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；不存在，則說(shuō)明理由？

定義函數(shù)(為定義域)圖像上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的的模.若模存在最大值，則稱之為函數(shù)的長(zhǎng)距；若模存在最小值，則稱之為函數(shù)的短距.
(1)分別判斷函數(shù)與是否存在長(zhǎng)距與短距，若存在，請(qǐng)求出;
(2)求證：指數(shù)函數(shù)的短距小于1;
(3)對(duì)于任意是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的短距不小于2且長(zhǎng)距不大于4.若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；不存在，則說(shuō)明理由？

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。
（2）若函數(shù)在[1，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

已知函數(shù)f(x)＝x＋sin x.
(1)設(shè)P，Q是函數(shù)f(x)圖像上相異的兩點(diǎn)，證明：直線PQ的斜率大于0；
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立．

關(guān)于x的二次方程x²＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知函數(shù)f(x)＝x³－x²＋＋.
證明：存在x₀∈，使f(x₀)＝x₀.

函數(shù)f(x)＝，若關(guān)于x的方程2[f(x)]²－(2a＋3)·f(x)＋3a＝0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．