已知圓C的方程為x²+y²=4，過點(diǎn)M（2，4）作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l：y=kx+

3

（k＞0）與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．

已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P在x軸上的射影為H，且

PA

•

PB

=λ•|

PH

|²，其中λ≥0
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程并討論C的軌跡形狀
（2）過點(diǎn)A（-2，0）且斜率為1的直線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

2

3

．求實(shí)數(shù)λ？

如圖，設(shè)拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，P（x₀，y₀）為拋物線上的任一點(diǎn)（其中x₀≠0），過P點(diǎn)的切線交y軸于Q點(diǎn)．
（1）若P（2，1），求證|FP|=|FQ|；
（2）已知M（0，y₀），過M點(diǎn)且斜率為

x0

2

的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若

AM

=λ

MB

（λ＞1），求λ的值．

平面內(nèi)給定三個(gè)向量

a

=（3，2），

b

=（-1，2），

c

=（4，1）
（1）求滿足

a

=m

b

+n

c

的實(shí)數(shù)m，n；
（2）若（

a

+k

c

）∥（2

b

-

a

），求實(shí)數(shù)k；
（3）若

d

滿足（

d

-

c

）∥（

a

+

b

），且|

d

-

c

|=

5

，求

d

．

已知F₁、F₂為為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距|F₁F₂|=6，過左焦點(diǎn)F₁垂直于x軸的直線，與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)T為直線x=1上任意一點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F₂作TF₂的垂線交雙曲線C與P，Q兩點(diǎn)，求證：直線OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（3）是否存在過右焦點(diǎn)F₂的直線l，它與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于R，S兩點(diǎn)，且使得△F₁RS的面積為6

2

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知經(jīng)過拋物線C：x²=2py焦點(diǎn)F的直線l：y=kx+1與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若存在一定點(diǎn)D（0，b），使得無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，總有直線AD的斜率與BD的斜率互為相反數(shù)．
（Ⅰ）求p與b的值；
（Ⅱ）對(duì)于橢圓C'：

x2

5

+y²=1，經(jīng)過它左焦點(diǎn)F′的直線l′與橢圓C′交于A′、B′兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)D′，使得無論A′B′怎樣運(yùn)動(dòng)，都有∠A′D′F′=∠B′D'F′？若存在，求出D′坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4，離心率為

1

2

，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)E（0，1），問是否存在直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知點(diǎn)M（0，1），C（2，3），動(dòng)點(diǎn)P滿足|

PC

|=1，過點(diǎn)M且斜率為k的直線l與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：

MA

•

MB

為定值；
（4）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OA

•

OB

=12，求直線l的方程．

已知雙曲線C₁的漸近線是

3

x±2y=0，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F₁（-

7

，0）、F₂（

7

，0）．
（Ⅰ）求雙曲線C₁的方程；
（Ⅱ）若橢圓C₂與雙曲線C₁有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率之和為

5 7

6

，點(diǎn)P在橢圓C₂上，且|PF₁|=4，求∠F₁PF₂的大�。�

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓的焦點(diǎn)為（-

3

，0）（

3

，0），離心率為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓M：x²+（y-m）²=1上的點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為

5

+1，求m的值；
（3）過坐標(biāo)原點(diǎn)作斜率為k的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)P，Q），設(shè)直線NP，NQ的斜率均存在且分別記為k_Np，k_NQ．證明：對(duì)任意k，恒有k_NPk_NQ=-

1

4

．