【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為的正三角形，為棱的中點.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)若平面平面，，求二面角的余弦值.

【題目】設(shè)為實數(shù)，已知，

（1）若函數(shù)，求的值；

（2）當時，求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若對于一切，不等式恒成立，求的取值范圍.

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點，為的中點．證明：直線平面.

【題目】如圖，矩形和等邊三角形中， ，平面平面．

（1）在上找一點，使，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．

【題目】如圖，水平的廣場上有一盞路燈掛在高的電線桿頂上，記電線桿的底部為點.把路燈看作一個點光源，身高的女孩站在離點的點處，回答下面的問題.

（1）若女孩以為半徑繞著電線桿走一個圓圈，人影掃過的是什么圖形，求這個圖形的面積；

（2）若女孩向點前行到達點，然后從點出發(fā)沿著以為對角線的正方形走一圈，畫出女孩走一圈時頭頂影子的軌跡，說明軌跡的形狀.

【題目】為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時．

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

【題目】有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是P(萬元)和Q(萬元)，它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式：P＝，Q＝ .今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得的最大利潤是多少？

【題目】圓臺的上、下底面半徑分別為、，母線長，從圓臺母線的中點拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點（在下底面），求：

（1）繩子的最短長度；

（2）在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離．

【題目】已知是奇函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）求函數(shù)在上的值域；

（3）令，求不等式的解集.