【題目】定義一：對于一個函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得時，恒成立，則稱函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道.

定義二：若一個函數(shù)對于任意給定的正數(shù)，都存在一個實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道，則稱在正無窮處有永恒通道.

下列函數(shù)①；②；③；④；⑤. 其中在正無窮處有永恒通道的函數(shù)序號是 .

【題目】已知函數(shù)。

（1）若是曲線的切線,求的值；

（2）若,求的取值范圍.

【題目】對于任意，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列：，，是“K數(shù)列”，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，當(dāng)首項與公差滿足什么條件時，數(shù)列是“K數(shù)列”？

（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，，且，. 設(shè)，是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為“K數(shù)列”. 若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間.

【題目】給定函數(shù)和，若存在常數(shù)，，使得函數(shù)和對其公共定義域的任何實數(shù)分別滿足和，則稱直線：為函數(shù)和的“隔離直線”，給出下列四組函數(shù)：

（1），； （2），；

（3），； （4），；

其中函數(shù)和存在“隔離直線”的序號是（ ）

A.（1）（3）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）

【題目】已知函數(shù)，.

(1)討論函數(shù)的零點個數(shù)；

(2)求證：.

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)。在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨(dú)立），三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元�，F(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖是根據(jù)個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表.

二級濾芯更換頻數(shù)分布表

以個一級過濾器更換濾芯的頻率代替個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以個二級過濾器更換濾芯的頻率代替個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定，的值.

【題目】已知函數(shù),且圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.

(1)求的值；

(2)求方程在上的解的集合；

(3)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

【題目】已知圓：，點，直線.

(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標(biāo)原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上的任一點，都有為一常數(shù)，試求出所有滿足條件的點的坐標(biāo).

【題目】設(shè)復(fù)平面上點對應(yīng)的復(fù)數(shù) （為虛數(shù)單位）滿足，點的軌跡方程為曲線. 雙曲線:與曲線有共同焦點，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線的交點是、，，為坐標(biāo)原點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）求直線的方程；

（3）設(shè)△PQR三個頂點在曲線上，求證：當(dāng)是△PQR重心時，△PQR的面積是定值.