【題目】定義一：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得時(shí)，恒成立，則稱函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)寬度為的通道.

定義二：若一個(gè)函數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù)，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)寬度為的通道，則稱在正無窮處有永恒通道.

下列函數(shù)①；②；③；④；⑤. 其中在正無窮處有永恒通道的函數(shù)序號(hào)是 .

【題目】已知函數(shù)。

（1）若是曲線的切線,求的值；

（2）若,求的取值范圍.

【題目】對(duì)于任意，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列：，，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)首項(xiàng)與公差滿足什么條件時(shí)，數(shù)列是“K數(shù)列”？

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，. 設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為“K數(shù)列”. 若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間.

【題目】給定函數(shù)和，若存在常數(shù)，，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域的任何實(shí)數(shù)分別滿足和，則稱直線：為函數(shù)和的“隔離直線”，給出下列四組函數(shù)：

（1），； （2），；

（3），； （4），；

其中函數(shù)和存在“隔離直線”的序號(hào)是（ ）

A.（1）（3）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）

【題目】已知函數(shù)，.

(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)求證：.

其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)。在使用過程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立），三級(jí)濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)元，二級(jí)濾芯每個(gè)元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)元，二級(jí)濾芯每個(gè)元。現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖是根據(jù)個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表.

二級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表

以個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級(jí)濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定，的值.

【題目】已知函數(shù),且圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.

(1)求的值；

(2)求方程在上的解的集合；

(3)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

【題目】已知圓：，點(diǎn)，直線.

(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上的任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

【題目】設(shè)復(fù)平面上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) （為虛數(shù)單位）滿足，點(diǎn)的軌跡方程為曲線. 雙曲線:與曲線有共同焦點(diǎn)，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)是、，，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）求直線的方程；

（3）設(shè)△PQR三個(gè)頂點(diǎn)在曲線上，求證：當(dāng)是△PQR重心時(shí)，△PQR的面積是定值.