Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）若是曲線的切線,求的值；

（2）若,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

法一：（1）根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得，解可得a的值，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，f（x）≥1+x+lnx即x（e2x﹣a）≥1+x+lnx，結(jié)合x的取值范圍變形可得a+1≤e2x，設(shè)F（x）＝e2x，利用導(dǎo)數(shù)分析F（x）在（0，+∞）上的最小值，據(jù)此分析可得答案．

法二：（1）同解法一. （2）設(shè)，求導(dǎo)后，先研究a=1時(shí)導(dǎo)函數(shù)的最小值，從而得到結(jié)論成立，再研究a>1和a<1時(shí)情況，利用變換主元的方法進(jìn)行放縮后分別說明成立及不成立.

法三：（1）同解法一.

（2）先考查函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)證明，利用此引理進(jìn)行放縮，分 及去證明，分別去證明成立與說明不成立，得到a的范圍.

解法一：（1）因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)直線與的圖象的切點(diǎn)為，

則.①

因?yàn)榍悬c(diǎn)既在切線上又在曲線上，所以

由①②③得.

（2）由題意得，即，

因?yàn)?/span>，所以,

設(shè)，則.

考查函數(shù)，

因?yàn)?/span>，所以在單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，且，

故存在，使得，即，

所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.

所以.

由題意得，.令，取對(duì)數(shù)得，④

由，得，⑤……

由④⑤得，

設(shè)函數(shù)，則有，

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，

所以，即，

所以，故，解得.

故的取值范圍是.

解法二：（1）同解法一.

（2）設(shè)，，

則.

①當(dāng)時(shí)，令，

，

設(shè)，.因?yàn)?/span>，

所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，，

故存在，使得，

所以，兩邊取對(duì)數(shù)得.,

所以當(dāng)，，，單調(diào)遞減.

，，，單調(diào)遞增.

所以.

即時(shí)，有.所以符合題意，

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以，

由①知，存在，使得，

所以不符合題意.

③當(dāng)時(shí)，，符合題意.，

綜上，的取值范圍是.

解法三：（1）同解法一.

（2）考查函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

所以.

①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以，符合題意；

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，

令，考察.

因?yàn)?/span>，所以在單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，

故存在，使得，即，

所以存在，使得，

因?yàn)?/span>，故存在，使得，

所以不符合題意.

綜上，的取值范圍是.