【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）當時，求證：時，；

（Ⅱ）當時，計論函數(shù)的極值點個數(shù).

【題目】某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠狀病毒，其中只有A到過疫區(qū)，B肯定是受A感染的，對于C，因為難以判定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同樣也假設D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量，寫出X的可能取值為______，并求X的均值（即數(shù)學期望）為______.

（Ⅰ）求，并試估計這200盒產(chǎn)品的該項指標的平均值；

（Ⅱ）① 用樣本估計總體，由頻率分布直方圖認為產(chǎn)品的質量指標值服從正態(tài)分布，計算該批產(chǎn)品指標值落在上的概率；參考數(shù)據(jù)：附：若，則，.

②國家有關部門規(guī)定每盒產(chǎn)品該項指標不低150均為合格，且按指標值的從低到高依次分為：合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個等級，其中為優(yōu)良，不高于180為合格，不低于220為優(yōu)秀，在①的條件下，設公司生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬盒的成本為15萬元，市場上每盒該產(chǎn)品的等級售價（單位：元）如圖表，求該公司每萬盒的平均利潤.

【題目】如圖，在菱形中，，，對角線與交于點，點，分別在，上，滿足，交于點.將沿折到的位置， .

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成的角的正弦值.

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：若，不等式成立.

【題目】某公司的甲、乙兩名工程師因為工作需要，各自選購一臺筆記本電腦.該公司提供了三款筆記本電腦作為備選，這三款筆記本電腦在某電商平臺的銷量和用戶評分如下表所示：

若甲選購某款筆記本電腦的概率與對應的銷量成正比，乙選購某款筆記本電腦的概率與對應的用戶評分減去5的值成正比，且他們兩人選購筆記本電腦互不影響.

（1）求甲、乙兩人選購不同款筆記本電腦的概率；

（2）若公司給購買這三款筆記本電腦的員工一定的補貼，補貼標準如下表：

記甲、乙兩人獲得的公司補貼之和為千元，求的分布列和數(shù)學期望.

【題目】有件產(chǎn)品，其中件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；

（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；

（3）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.

【題目】如圖是放置在桌面的某三棱柱的三視圖，其中網(wǎng)格小正方形邊長為1.若三棱柱表面上的、兩點在三視圖中的對應點為、，現(xiàn)一只螞蟻要沿該三棱柱的表面（不包括下底面）從爬到，則所有路徑里最短路徑的長度為（ ）

A. B. C. D.

【題目】“勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”，三國時期吳國的數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中注釋了其理論證明，其基本思想是圖形經(jīng)過割補后面積不變.即通過如圖所示的“弦圖”，將勻股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實，開方除之，即弦”（其中分別為勾股弦）；證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實”，即，化簡得.現(xiàn)已知，，向外圍大正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在中間小正方形內(nèi)的概率是（ ）

A. B. C. D.

【題目】如圖是某電視臺主辦的歌手大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖（其中為數(shù)字0~9中的一個），則下列結論中正確的是（ ）

A. 甲選手的平均分有可能和乙選手的平均分相等

B. 甲選手的平均分有可能比乙選手的平均分高

C. 甲選手所有得分的中位數(shù)比乙選手所有得分的中位數(shù)低

D. 甲選手所有得分的眾數(shù)比乙選手所有得分的眾數(shù)高