【題目】已知橢圓的兩焦點在軸上，且短軸的兩個頂點與其中一個焦點的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.

【題目】某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個階段進(jìn)行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．

（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；

（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？

（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎勵，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎勵，若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎勵，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。

【題目】已知橢圓： 的離心率為，圓： 與軸交于點、， 為橢圓上的動點， ， 面積最大值為．　

（1）求圓與橢圓的方程；

（2）圓的切線交橢圓于點、，求的取值范圍．

【題目】如圖，在梯形中，，平面平面，四邊形是菱形，.

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的正切值.

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，證明：；

（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動點P到直線的距離與到點的距離比為．

（1）求動點P所在曲線E的方程；

（2）設(shè)點Q為曲線E與軸正半軸的交點，過坐標(biāo)原點O作直線，與曲線E相交于異于點的不同兩點，點C滿足，直線和分別與以C為圓心，為半徑的圓相交于點A和點B，求△QAC與△QBC的面積之比的取值范圍．

【題目】如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．

（1）若點是的中點，求證：//平面；

（2）棱BC上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．

【題目】2018年12月18日上午10時，在人民大會堂舉行了慶祝改革開放40周年大會．40年眾志成城，40年砥礪奮進(jìn)，40年春風(fēng)化雨，中國人民用雙手書寫了國家和民族發(fā)展的壯麗史詩．會后，央視媒體平臺，收到了來自全國各地的紀(jì)念改革開放40年變化的老照片，并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開放40年圖片展”，其作者年齡集中在之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，做出頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）求這100位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，作者年齡X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平

均數(shù)，近似為樣本方差．

（i）利用該正態(tài)分布，求；

（ii）央視媒體平臺從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“紀(jì)念改革開放40年圖片展”表彰大會，現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是Y，求變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，

【題目】已知正方形ABCD的邊長為4，M是AD的中點，動點N在正方形ABCD的內(nèi)部或其邊界移動，并且滿足，則的取值范圍是________．