已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.

【題目】底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.

表中，.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒開一壺水時間關于開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

【題目】某校名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲，角色按級別從小到大共種，分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個不同角色.已知這名學生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，現(xiàn)在新加入名學生，將這名學生分成組進行游戲，則新加入的學生可以扮演的角色的種數(shù)為________.

【題目】很多關于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學家和數(shù)學愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（ ）

A.B.C.D.

【題目】第二屆中國國際進口博覽會于2019年11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.它是中國政府堅定支持貿(mào)易自由化和經(jīng)濟全球化，主動向世界開放市場的重要舉措，有利于促進世界各國加強經(jīng)貿(mào)交流合作，促進全球貿(mào)易和世界經(jīng)濟增長，推動開放世界經(jīng)濟發(fā)展.某機構為了解人們對“進博會”的關注度是否與性別有關，隨機抽取了100名不同性別的人員（男、女各50名）進行問卷調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表：

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認為對“進博會”的關注度與性別有關；

（2）若從關注度極高的被調(diào)查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況，再從7人中任意選取2人談談關注“進博會”的原因，求這2人中至少有一名女性的概率.

附：.

參考數(shù)據(jù)：

【題目】在平面直角坐標系中,點滿足方程.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）作曲線關于軸對稱的曲線,記為,在曲線上任取一點,過點作曲線的切線,若切線與曲線交于,兩點,過點,分別作曲線的切線,,證明：,的交點必在曲線上.

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線C的極坐標方程；

（2）過點，傾斜角為的直線l與曲線C相交于M，N兩點，求的值.

在平面直角坐標系中，直線過原點且傾斜角為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.在平面直角坐標系中，曲線與曲線關于直線對稱.

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；

（Ⅱ）若直線過原點且傾斜角為，設直線與曲線相交于，兩點，直線與曲線相交于，兩點，當變化時，求面積的最大值.