2009年10月1日，為慶祝中華人們共和國(guó)成立60周年，來(lái)自北京大學(xué)和清華大學(xué)的共計(jì)6名大學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場(chǎng)運(yùn)送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有一名北京大學(xué)志愿者的概率是

3

5

．
（1）求6名志愿者中來(lái)自北京大學(xué)、清華大學(xué)的各幾人；
（2）求清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)人各一人的概率；
（3）設(shè)隨機(jī)變量ζ為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求ζ分布列及期望．

已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

已知矩陣A=

ab cd

，若矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α1=

1 1

，屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為α2=

1 -1

，求矩陣A．

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書(shū)館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書(shū)館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書(shū)館的正面要朝市政府大樓．設(shè)扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，OB與OM之間的夾角為θ．
（I）將圖書(shū)館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù)．
（II）若R=45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S有最大值？其最大值是多少？（精確到0.01m²）

如圖，△ABC的內(nèi)切圓與三邊AB、BC、CA的切點(diǎn)分別為D、E、F，已知B（-

2

，0)，C(

2

，0)，內(nèi)切圓圓心I（1，t）．設(shè)A點(diǎn)的軌跡為L(zhǎng)
（1）求L的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)C作直線m交曲線L于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q．使

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

對(duì)任意的直線m都成立？若存在，求出Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，O是AC與BD的交點(diǎn)，E為BB₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線B₁D∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅲ）求三棱錐D-D₁OC的體積．

如右圖所示的曲線是以銳角△ABC的頂點(diǎn)B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的雙曲線，若△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=4，b=6，

csinA

a

=

3

2

，則此雙曲線的離心率為 ．

如圖，P是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，且

OQ

=

1

2

(

OP

+

OF

)，|

OQ

|=4，則點(diǎn)P到該橢圓左準(zhǔn)線的距離為．

在圓x²+y²=5x內(nèi)，過(guò)點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a₁，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為a_n，若公差d∈(

1

6

，

1

3

]，那么n的取值集合．

若等差數(shù)列{a_n}滿足a₂+S₃=4，a₃+S₅=12，則a₄+S₇的值是 ．