Question

7．在科學(xué)研究中，可以通過(guò)施加適當(dāng)?shù)碾妶?chǎng)和磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的控制，如圖甲所示的xOy平面處于勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間作周期性變化的圖象如圖乙所示，周期為7t₀，y軸正方向?yàn)镋的正方向，垂直紙面向外為B的正方向，在t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子，當(dāng)B₀=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$時(shí)，粒子沿某軌道做周期性運(yùn)動(dòng)，圖中E₀、t₀已知，不計(jì)粒子的重力，試求：

（1）t₀時(shí)刻粒子位置的縱坐標(biāo)y₁及3t₀時(shí)刻粒子的速度大小v
（2）改變B₀的大小，仍要使粒子做周期性運(yùn)動(dòng)，B₀的可能取值；
（3）在（2）的情況下，粒子速度沿y軸負(fù)方向時(shí)橫坐標(biāo)x的可能值．

Answer 1

分析 （1）0-t₀內(nèi)粒子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解t₀時(shí)刻粒子位置的縱坐標(biāo)y₁；t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)半徑公式和周期公式確定運(yùn)動(dòng)，同理求出粒子在3t₀時(shí)刻的速度；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解軌道半徑，由圓周運(yùn)動(dòng)公式求得周期；
（3）粒子奇數(shù)秒內(nèi)做類似平拋運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)秒內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑逐漸增大，畫出軌跡．求出粒子速度沿y軸負(fù)方向時(shí)橫坐標(biāo)x的可能值．．

解答 解：（1）0-t₀內(nèi)粒子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：
qE₀=ma
又：${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
所以：${y}_{1}=\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{2m}$
t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$q{v}_{1}{B}_{0}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
周期：$T=\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
將B₀=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$代入得：T=4t₀
所以在t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周，角度轉(zhuǎn)過(guò)90°，運(yùn)動(dòng)的方向與電場(chǎng)的方向垂直，則2t₀-3t₀時(shí)間內(nèi)粒子將做類平拋運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻粒子的速度：v₁=at₀
3t₀時(shí)刻粒子的沿電場(chǎng)方向的分速度：v_y=at₀
3t₀時(shí)刻粒子的速度：${v}_{3}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}a{t}_{0}=\frac{\sqrt{2}q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$
由于兩個(gè)方向的分速度大小相等，所以粒子速度的方向與+x方向和-y方向的夾角都是45°．
（2）在3t₀-4t₀時(shí)間內(nèi)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周，角度轉(zhuǎn)過(guò)90°；
在4t₀-5t₀時(shí)間內(nèi)粒子在-x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在-y方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在t=5t₀時(shí)刻在y方向的分速度等于0，在5t₀-6t₀時(shí)間內(nèi)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周，角度轉(zhuǎn)過(guò)90°，在6t₀時(shí)刻粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸，速度沿+y方向；
改變B₀的大小，若仍然要粒子做周期性的運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)滿足：
${t}_{0}=（n+\frac{1}{4}）T$（n=0，1，2，3…）
聯(lián)立得：${B}_{0}=（n+\frac{1}{4}）\frac{2πm}{q{t}_{0}}$（n=0，1，2，3…）
（3）在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，則：
v₁=at₀
$q{v}_{1}{B}_{0}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{r}$
粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，結(jié)合（2）的分析可知，速度沿y軸負(fù)方向的位置有M、N、P點(diǎn)，M、N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)：
x₁=2r
解得：${x}_{1}=\frac{4q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{πm（4n+1）}$（n=0，1，2，3…）
P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)：${x}_{2}=r+{v}_{1}{t}_{0}+（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）r′$
由于：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r′}$
解得：${x}_{2}=[1+\frac{2\sqrt{2}}{π（4n+1）}]\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{m}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）t₀時(shí)刻粒子位置的縱坐標(biāo)是$\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{2m}$，3t₀時(shí)刻粒子的速度大小是$\frac{\sqrt{2}q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$；
（2）改變B₀的大小，仍要使粒子做周期性運(yùn)動(dòng)，B₀的可能取值為$（n+\frac{1}{4}）\frac{2πm}{q{t}_{0}}$（n=0，1，2，3…）；
（3）在（2）的情況下，粒子速度沿y軸負(fù)方向時(shí)橫坐標(biāo)x的可能值是${x}_{1}=\frac{4q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{πm（4n+1）}$（n=0，1，2，3…）或${x}_{2}=[1+\frac{2\sqrt{2}}{π（4n+1）}]\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{m}$（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，分析粒子的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)求解坐標(biāo)．