Question

如圖1所示，長為l、相距為d的兩塊正對的平行金屬板AB和CD與一電源相連（圖中未畫出電源），B、D為兩板的右端點(diǎn)．兩板間電壓的變化如圖2所示．在金屬板B、D端的右側(cè)有一與金屬板垂直的熒光屏MN，熒光屏距B、D端的距離為l．質(zhì)量為m、電荷量為 e的電子以相同的初速度v₀從極板左邊中央沿平行極板的直線OO′連續(xù)不斷地射入．已知所有的電子均能夠從金屬板間射出，且每個電子在電場中運(yùn)動的時間與電壓變化的周期相等．忽略極板邊緣處電場的影響，不計電子的重力以及電子之間的相互作用．求：

（1）t=0和t=

T

2

時刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)金屬板B、D端界面時偏離OO′的距離之比．
（2）兩板間電壓U₀的最大值．
（3）電子在熒光屏上分布的最大范圍．

Answer 1

分析：（1）從t=0時刻進(jìn)入電子先做勻速直線運(yùn)動，然后做類平拋運(yùn)動，從t=

T

2

時刻進(jìn)入做類平拋運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出偏轉(zhuǎn)位移，從而求出偏離OO′的距離之比．
（2）在t=（2n+1）

T

2

（n=0，1，2…）時刻進(jìn)入兩板間的電子在離開金屬板時偏離OO′的距離最大，抓住偏轉(zhuǎn)位移小于

d

2

，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出兩板間電壓U₀的最大值．
（3）分別求出t=（2n+1）

T

2

（n=0，1，2…）時刻進(jìn)入兩板間的電子在離開金屬板時偏離OO′的距離和t=（2n+1）

T

2

（n=0，1，2…）時刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離，從而確定電子在熒光屏上分布的最大范圍．

解答：解：（1）t=0時刻進(jìn)入兩板間的電子先沿OO′方向做勻速運(yùn)動，即有v0

T

2

=

l

2

，
而后在電場力作用下做類平拋運(yùn)動，在垂直于OO′方向做勻加速運(yùn)動，設(shè)到達(dá)B、D
端界面時偏離OO′的距離為y₁，則y1=

1

2

eU0

md

(

T

2

)2=

eU0l2

8mdv02

．
t=

T

2

時刻進(jìn)入兩板間的電子先在

T

2

時間內(nèi)做拋物線運(yùn)動到達(dá)金屬板的中央，而后做勻速直線運(yùn)動到達(dá)金屬板B、D端界面．設(shè)電子到達(dá)金屬板的中央時偏離OO′的距離為y₂，將此時電子的速度分解為沿OO′方向的分量v₀與沿電場方向的分量v_E，并設(shè)此時刻電子的速度方向與OO′的夾角為θ，電子沿直線到達(dá)金屬板B、D端界面時偏離OO′的距離為y₂′，則有y2=

1

2

eU0

md

(

T

2

)2，tanθ=

vE

v0

=

eU0

mdv0

T

2

=

y2′-y2

l 2

；
解得y2′=

3eU0l2

8mdv02

因此，y₁：y₂′=1：3．
（2）在t=（2n+1）

T

2

（n=0，1，2…）時刻進(jìn)入兩板間的電子在離開金屬板時偏離OO′的距離最大，因此為使所有進(jìn)入金屬板間的電子都能夠飛出金屬板，應(yīng)滿足的條件為y2′≤

d

2

，解得板間電太的最大值U0=

4d2mv02

3el2

．
（3）設(shè)t=nT（n=0，1，2…）時刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離為Y₁；
t=（2n+1）

T

2

（n=0，1，2…）時刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離為Y₂′，電子到達(dá)熒光屏上分布在△Y=Y₂-Y₁范圍內(nèi)．當(dāng)滿足y2′=

d

2

的條件時，△Y為最大．根據(jù)題中金屬板和熒光屏之間的幾何關(guān)系，得到
tanθ=

Y2-y2′

l

=

Y1-y1

l

．
因此電子在熒光屏上分布的最大范圍為△Y=Y2-Y1=y2′-y1=

d

3

．
答：（1）t=0和t=

T

2

時刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)金屬板B、D端界面時偏離OO′的距離之比為1：3．
（2）兩板間電壓U₀的最大值U0=

4d2mv02

3el2

．
（3）電子在熒光屏上分布的最大范圍為

d

3

．

點(diǎn)評：本題考查帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)，理清粒子的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律進(jìn)行求解．