Question

19．如圖所示，一固定斜面體，其斜邊與水平底邊的夾角θ=37°，BC為一段光滑圓弧軌道，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道均固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，右端緊靠C點(diǎn)，上表面所在平面與兩圓弧分別相切于C、D兩點(diǎn)．一物塊被輕放在斜面上F點(diǎn)由靜止釋放，物塊離開斜面后恰好在B點(diǎn)沿切線進(jìn)入BC段圓弧軌道，再經(jīng)C點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量M=2m，DE半圓弧軌道和BC圓弧軌道的半徑均為R，斜面體水平底邊與滑板上表面的高度差H=2R，板長l=6.5R，板左端到D點(diǎn)的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，F(xiàn)點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=12.5R，物塊與斜面、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度取g．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：（結(jié)果用字母m、g、R、L表示）
（1）求物塊滑到A點(diǎn)的速度大��；
（2）求物塊滑到C點(diǎn)時(shí)所受圓弧軌道的支持力的大小；
（3）試討論物塊從滑上滑板到離開左端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系；并判斷物塊能否滑到DE軌道的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）對滑塊，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出滑塊的速度．
（2）由動(dòng)能定理求出滑塊到達(dá)C點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求出支持力．
（3）滑塊與滑板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與動(dòng)能定理求出滑塊與滑板的位移，然后應(yīng)用動(dòng)能定理分析答題．

解答 解：（1）物塊沿斜面下滑過程，由動(dòng)能定理得：
mg•12.5Rsinθ-μmg•12.5Rcosθ=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
解得：v₁=$\sqrt{5gR}$；
（2）對物塊，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₁²+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：v₂=3$\sqrt{gR}$，
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：F=10mg；
（3）物塊從C滑上滑板后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，滑板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以物塊的初速度方向?yàn)檎�方向�?br />由動(dòng)量守恒定律得：mv₂=（M+m）v₃，
解得：v₃=$\sqrt{gR}$，
對物塊，由動(dòng)能定理得：-μmgl₁=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
對滑板，由動(dòng)能定理得：μmgl₂=$\frac{1}{2}$Mv₃²-0，
解得：l₁=8R，l₂=2R，
物塊相對于滑板的位移：△l=l₂-l₁=6R＜l，
則物塊與滑板速度相同時(shí)物塊沒有離開滑板，兩者速度相同后一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)R＜L＜2R時(shí)，物塊在滑板上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)到達(dá)D點(diǎn)，位移大小為6.5R+L，
克服摩擦力做功：W_f=μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），
由動(dòng)能定理得：-μmg（6.5R+L=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mg（2.5R-L）＜mgR，物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)；
②當(dāng)2R≤L＜5R時(shí)，物塊先勻減速運(yùn)動(dòng)8R，然后勻速運(yùn)動(dòng)L-2R，再勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，
克服摩擦力做功：W_f=μmg（8R+0.5R）=$\frac{17}{4}$mgR，
由動(dòng)能定理得：-μmg（8R+0.5R）=$\frac{1}{2}$mv_D′²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：$\frac{1}{2}$mv_D′²=$\frac{1}{4}$mgR＜mgR，物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)；
答：（1）物塊滑到A點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）物塊滑到C點(diǎn)時(shí)所受圓弧軌道的支持力的大小為10mg；
（3）①當(dāng)R＜L＜2R時(shí)，克服摩擦力做功：W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)；
②當(dāng)2R≤L＜5R時(shí)，克服摩擦力做功：W_f=$\frac{17}{4}$mgR，物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題是一道力學(xué)綜合題，難度較大，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律可以解題．