Question

4．如圖所示為一個矩形的電場和磁場組合而成，二者都分布在寬$\frac{R}{2}$長2R的矩形區(qū)域，電場的上邊界正好是磁場的下邊界，帶電粒子從電場下邊界的中點O靜止釋放，經(jīng)勻強(qiáng)電場加速后進(jìn)入磁場，已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{3}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，粒子間相互作用及重力都不計．
（1）若加速電場的電場強(qiáng)度為E=$\frac{18U}{R}$，求粒子在電磁場中運(yùn)動的總時間；
（2）若加速電場的電場強(qiáng)度為E=$\frac{2U}{R}$，求粒子在電磁場中運(yùn)動的總時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子加速獲得的速度．由運(yùn)動學(xué)公式求出加速的時間．粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求出軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識確定軌跡對應(yīng)的圓心角，即可求得磁場中運(yùn)動時間，從而得到總時間；
（2）若加速電場強(qiáng)度為E=$\frac{2U}{R}$，運(yùn)用同樣的思路求出粒子電場中的運(yùn)動時間和磁場中的軌跡半徑，畫出運(yùn)動軌跡，根據(jù)運(yùn)動情況，求解磁場中的時間．即可得到總時間．

解答 解：（1）若加速電場場強(qiáng)為：E=$\frac{18U}{R}$
由動能定理得：qE•$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{18qU}{m}}$
在磁場中，粒子做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
又因為：B=$\frac{3}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
聯(lián)立解得：r=R
畫出粒子的運(yùn)動軌跡如圖甲所示，由幾何關(guān)系可得，軌跡對應(yīng)的圓心角為：θ=30°；
帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間為：t_B=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{30°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{6qB}$
粒子在電場中做勻加速直線運(yùn)動，則有：d=$\frac{1}{2}$R=$\frac{v}{2}$t_E
解得：t_E=R$\sqrt{\frac{m}{18qU}}$
故粒子在電磁場中運(yùn)動的總時間為：t_總=t_E+t_B=（$\frac{π}{18}$+$\frac{1}{3}$）R$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
（2）若加速電場強(qiáng)度為：E=$\frac{2U}{R}$
由動能定理得：qE•$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}m{v′}^{2}$，
解得：v′=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
在磁場中，根據(jù)牛頓第二定律得：qv′B=m$\frac{{v′}^{2}}{r′}$
解得：r′=$\frac{R}{3}$
分析可知粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡為一個半圓和四分之一圓周如圖乙所示，帶電粒子在磁場中運(yùn)動的周期為：T_B=$\frac{2πm}{qB}$，
則粒子在磁場中運(yùn)動的時間：t_B′=$\frac{3}{4}$T_B
分析可知粒子在電場中先加速后減速再加速，由運(yùn)動學(xué)公式可得：t_E′=$\frac{\frac{R}{2}}{\frac{v′}{2}}$=R$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
則粒子在電場中運(yùn)動的時間為：3t_E′=3R$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
故粒子在電磁場中運(yùn)動的總時間為：t′=t_B′+3t_E′=（$\frac{π}{2}$+3）R$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
答：（1）若加速電場的電場強(qiáng)度為E=$\frac{18U}{R}$，粒子在電磁場中運(yùn)動的總時間為（$\frac{π}{18}$+$\frac{1}{3}$）R$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
（2）若加速電場的加速電壓為E=$\frac{2U}{R}$，粒子在電磁場中運(yùn)動的總時間為（$\frac{π}{2}$+3）R$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

點評 本題是帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的問題，靜止的帶點粒子在電場作用下做勻加速直線運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式．