Question

7．如圖，在豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系，其中y軸豎直，在y軸的右側(cè)有一半徑為R的絕緣光滑圓形軌道，軌道與x軸的左交點(diǎn)處有一小孔A，已知小孔A與圓心B的連線與x軸之間的夾角θ=30°，現(xiàn)在從y軸正半軸上的某一點(diǎn)水平拋出一可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球，已知小球的質(zhì)量為m，所帶電荷量為q，拋出時(shí)的初速度大小為v₀，小球恰能從A點(diǎn)無(wú)碰撞進(jìn)入圓形軌道，重力加速度為g．
（1）試求拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)值y；
（2）若小球進(jìn)入圓弧軌道的同時(shí)，在豎直平面內(nèi)朝某一方向施加一電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，小球恰好內(nèi)沿圓軌道內(nèi)側(cè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且與軌道間無(wú)擠壓，試求E的大小和B的大��；
（3）若小球進(jìn)入圓弧軌道的同時(shí)，在豎直平面內(nèi)朝某一方向施加一電場(chǎng)強(qiáng)度為E′的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球恰能沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度為2v₀，試求E的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出y．
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力合力為零，由平衡條件求出電場(chǎng)強(qiáng)度，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用余弦定理求出電場(chǎng)力與重力的合力，應(yīng)用牛頓第二定律求出電場(chǎng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直分速度：v_y=gt，
由幾何知識(shí)得：tan30°=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$，
豎直分位移：y=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：y=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且與軌道間無(wú)相互作用力，
則：重力與電場(chǎng)力合力為零，mg=qE，解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上；
小球進(jìn)入軌道時(shí)的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$；
（3）小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，最大速度：v=2v₀，則在A點(diǎn)速度最大，
最小速度出現(xiàn)在AB連線的延長(zhǎng)線與圓弧的交點(diǎn)為C，且在C點(diǎn)小球?qū)�軌道壓力�?，
設(shè)小球的最小速度為v₁，電場(chǎng)力與重力的合力為F，由題意可知，F(xiàn)由C指向A，
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
從A到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：-2FR=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$m（2v₀）²，
在C點(diǎn)，由余弦定理得：（qE′）²=（mg）²+F²-2mgFcos（90°-30°）
解得：E′=$\frac{m}{g}$$\sqrt{{g}^{2}+\frac{16{v}_{0}^{4}}{25{R}^{2}}-\frac{4g{v}_{0}^{2}}{5R}}$；
答：（1）拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)值y為$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）E的大小為$\frac{mg}{q}$，B的大小為$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$；
（3）E的大小為$\frac{m}{g}$$\sqrt{{g}^{2}+\frac{16{v}_{0}^{4}}{25{R}^{2}}-\frac{4g{v}_{0}^{2}}{5R}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了小球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、平衡條件、牛頓第二定律與余弦定理可以解題．