Question

1．直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小未知，MN下方為方向垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．今從MN上的A點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）無(wú)初速度釋放一個(gè)帶正電粒子，該粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)MN 線上的O 點(diǎn)時(shí)速度為v，如圖所示．該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑為R．若該粒子第三次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí)恰好又通過(guò)O點(diǎn)．不計(jì)粒子的重力．求：

（1）帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）電場(chǎng)的強(qiáng)度E；
（3）該粒子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次過(guò)O點(diǎn)所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子第一次從MN進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子的比荷；
（2）第二次到達(dá)MN時(shí)速度方向垂直與電場(chǎng)強(qiáng)度方向向上，進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律求出E以及在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)t=$\frac{v}{a}$求出時(shí)間，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{7}{8}T$，而T=$\frac{2πm}{Bq}$，進(jìn)而求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三段時(shí)間之和即為所求時(shí)間．

解答 解：（1）粒子第一次從MN進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，第二次到達(dá)MN時(shí)速度方向垂直與電場(chǎng)強(qiáng)度方向向上，進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
第三次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí)恰好又通過(guò)O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$\frac{q}{m}=\frac{v}{BR}$
（2）粒子第二次經(jīng)過(guò)MN后進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度方向垂直與電場(chǎng)強(qiáng)度方向向上，進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)幾何關(guān)系得：
垂直與E方向的位移x=R，
沿著E方向的位移y=R，
則有：${t}_{1}=\frac{x}{v}=\frac{R}{v}$，
R=$\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t}^{2}$
解得：E=2Bv
（3）粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}=\frac{v}{a}=\frac{v}{\frac{Eq}{m}}=\frac{R}{2v}$，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{7}{8}T$，而T=$\frac{2πm}{Bq}$，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{3}=\frac{7}{8}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{7πR}{4v}$，
所以粒子從出發(fā)到再到達(dá)O點(diǎn)所需時(shí)間
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{3R}{2v}+\frac{7πR}{4v}$．
答：（1）帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{v}{BR}$；
（2）電場(chǎng)的強(qiáng)度E為2Bv；
（3）該粒子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次過(guò)O點(diǎn)所需的時(shí)間為$\frac{3R}{2v}+\frac{7πR}{4v}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力．