Question

3．如圖所示，傳送帶A、B間距離L=5m且在同一水平面內(nèi)，兩個(gè)輪子半徑均為r=0.2m，半徑R=0.4m的固定豎直光滑圓軌道與傳送帶相切于B點(diǎn)，C點(diǎn)是圓軌道的最高點(diǎn)．當(dāng)傳送帶靜止不動(dòng)時(shí)，質(zhì)量m=1 kg的小煤塊在A點(diǎn)以初速度v₀=2$\sqrt{15}$m/s開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，剛好能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）當(dāng)傳送帶的輪子以ω=10rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將小煤塊無(wú)初速地放到傳送帶上的A點(diǎn)，求小煤塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中在傳送帶上劃過(guò)痕跡的長(zhǎng)度？
（2）當(dāng)傳送帶的輪子勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度在什么范圍內(nèi)時(shí)，將小煤塊無(wú)初速地放到傳送帶上的A點(diǎn)，小煤塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力最大，最大壓力F_C是多大？

Answer 1

分析 1、在C點(diǎn)由牛頓第二定律得C點(diǎn)速度，小煤塊從A→C過(guò)程中，由動(dòng)能定理求得動(dòng)摩擦因數(shù)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；
2、根據(jù)動(dòng)能定理求出對(duì)應(yīng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，再牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）當(dāng)傳送帶靜止不動(dòng)時(shí)，小煤塊剛好能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，則在C點(diǎn)由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$�、�
小煤塊從A→C過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-μmgL-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$�、�
聯(lián)立①②得μ=0.4
當(dāng)傳送帶的輪子以ω=10 rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳送帶的線(xiàn)速度v=ωr=2 m/s
由$\frac{v2}{2μg}$=0.5 m＜L，得小煤塊在傳送帶上加速的時(shí)間t=$\frac{v}{μg}$=0.5 s
小煤塊與傳送帶的相對(duì)位移為l=vt-$\frac{v}{2}$t=0.5 m，
即劃過(guò)痕跡的長(zhǎng)度為0.5 m．
（2）當(dāng)小煤塊在傳送帶上一直加速時(shí)，小煤塊到達(dá)B點(diǎn)的速度最大，在C點(diǎn)對(duì)圓軌道的壓力最大．
設(shè)小煤塊到達(dá)B點(diǎn)的最大速度為v_B，
μmgL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$
解得v_B=2$\sqrt{10}$ m/s
傳送帶的線(xiàn)速度v≥2$\sqrt{10}$ m/s，即傳送帶的角速度ω≥10$\sqrt{10}$ rad/s時(shí)，小煤塊在C點(diǎn)對(duì)圓軌道的壓力最大，
小煤塊從B→C，由機(jī)械能守恒定律得：2mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{Cmax}^{2}$　③
小煤塊此時(shí)在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_max+mg=mv${\;}_{R}^{2C}$　④
聯(lián)立③④得F_max=50 N
根據(jù)牛頓第三定律得，對(duì)圓軌道最大壓力F_C=F_max=50 N
答：小煤塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中在傳送帶上劃過(guò)痕跡的長(zhǎng)度是0.5 m；
（2）小煤塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力最大，最大壓力F_C是50 N．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要掌握牛頓第二定律，運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及動(dòng)能定理的應(yīng)用．對(duì)于物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)過(guò)程，要正確分析其受力情況，來(lái)判斷其運(yùn)動(dòng)情況，再確定所用的物理規(guī)律．