Question

18．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)=4m的水平傳送帶以v₀=6m/s的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，左側(cè)有一半徑為R₁=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧，圓弧底部與皮帶在同一水平線上，右側(cè)有一半徑為R₂=0.8m的半圓光滑細(xì)管，圓管上端口下部正好緊鄰皮帶且與皮帶在同一水平線上．光滑水平地面上緊靠關(guān)口有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁=9m，質(zhì)量M=6kg的木板，木板上端正好與關(guān)口底部在同一水平線上，木板的左方有一足夠長(zhǎng)的臺(tái)階，其高度正好與木板相同，木板左側(cè)與臺(tái)階距離為L(zhǎng)₂=1M，當(dāng)木板與臺(tái)階碰撞時(shí)立即被黏住速度變?yōu)榱悖�現(xiàn)將一質(zhì)量為m=2kg的物塊從$\frac{1}{4}$圓弧的頂部A由靜止釋放，已知皮帶與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.2，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.3，物塊與臺(tái)階表面的動(dòng)摩擦因數(shù)也為μ₂=0.3，g=10m/s²，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，圓管粗細(xì)不計(jì)，試求：
（1）物塊剛滑入圓管頂部C處的速度大��；
（2）物塊滑到回圓管底部D處對(duì)底部的壓力．
（3）判斷物塊最終停在何處．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出物塊下滑到B點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊滑到右端的速度；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊到達(dá)D處的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對(duì)底部壓力的大�。�
（3）物塊滑上木板后最終共速為v₄，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律求出物塊和木板的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出共同速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求解各自的位移，根據(jù)位移關(guān)系判斷即可．

解答 解：（1）設(shè)物塊下滑到B點(diǎn)時(shí)速度為v₁，由機(jī)械能守恒有：
$mg{R}_{1}=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
因?yàn)関₀=6m/s＞v₁=4m/s，故物塊滑上皮帶后加速運(yùn)動(dòng)，若一直加速由動(dòng)能定理：
${μ}_{1}mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：${v}_{2}=4\sqrt{2}＜6m/s$
故一直加速，則滑塊以${v}_{2}=4\sqrt{2}$m/s滑入管口．
（2）由C點(diǎn)到D點(diǎn)由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+mg•2{R}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$
在D處由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{R}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=180N
由牛頓第三定律：F'_N=F_N=180N，方向豎直向下．
（3）物塊滑上木板后最終共速為v₄，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：
μ₂mg=ma₁，μ₂mg=Ma₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：v₃-a₁t=a₂t，可得共速速度v₄=a₂t=2m/s，水平向左，此過(guò)程物塊運(yùn)動(dòng)的位移為x₁，木板運(yùn)動(dòng)的位移為x₂，由動(dòng)能定理得：
${-μ}_{2}mg{x}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{4}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$，${μ}_{2}mg{x}_{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{4}}^{2}$
解得：x₁=10m，x₂=2m
由于x₁-x₂=8m＜L₁，但兩者共速需要木板運(yùn)動(dòng)x₂=2m＞L₂，因此物塊與木板不能共速．當(dāng)木板被粘住后，木塊繼續(xù)滑行設(shè)滑上臺(tái)階運(yùn)動(dòng)x₃后停止，由動(dòng)能定理得：
${-μ}_{2}mg（{L}_{1}+{L}_{2}+{x}_{3}）=0-\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$
解得：${x}_{3}=\frac{2}{3}$m，即離臺(tái)階右側(cè)E點(diǎn)為$\frac{2}{3}$m處停下．
答：（1）物塊剛滑入圓管頂部C處的速度大小為$4\sqrt{2}m/s$；
（2）物塊滑到回圓管底部D處對(duì)底部的壓力為180N．
（3）判斷物塊最終停在離臺(tái)階右側(cè)E點(diǎn)為$\frac{2}{3}$m處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒、動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況，難度較大．