Question

7．2012年，我國宣布北斗導航系統(tǒng)正式進入商業(yè)運行．北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)空間段由5顆靜止軌道衛(wèi)星和27顆中地球軌道衛(wèi)星、3顆傾斜同步軌道衛(wèi)星組成，該系統(tǒng)具有導航、定位等功能，如圖為“北斗”系統(tǒng)中某一工作衛(wèi)星，它繞地心做勻速圓周運動，軌道半徑為r，某時刻位于軌道上的A位置，若衛(wèi)星順時針運行，經(jīng)過一段時間運動到B位置，且與地球連線的夾角為60°，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常數(shù)為G．求：
（1）地球的質(zhì)量；
（2）此衛(wèi)星在軌道上的加速度大小和線速度大��；
（3）此衛(wèi)星由位置A運動至B需要的時間．

Answer 1

分析 （1）設(shè)地表物體的質(zhì)量為m₀，重力等于其萬有引力列式求解；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力公式結(jié)合黃金代換式求出加速度和線速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力公式求出周期，而從A到B最少需要$\frac{T}{6}$，結(jié)合周期性求解．

解答 解：（1）設(shè)地表物體的質(zhì)量為m₀，重力等于其萬有引力，則$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，則有：$\frac{GM{m}_{\;}}{{r}^{2}}={m}_{\;}a$
解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
又因為GM=gR²（黃金代換），
則$a=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$
而$\frac{GM{m}_{\;}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$
（3）由$\frac{GM{m}_{\;}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，又因為GM=gR²（黃金代換），
則$T=\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$
則衛(wèi)星由A位置運動到B位置的時間t=$\frac{T}{6}+nT=\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}（n=0，1，2，3…）$
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）此衛(wèi)星在軌道上的加速度大小為$a=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，線速度大小為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$；
（3）此衛(wèi)星由位置A運動至B需要的時間為$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}（n=0，1，2，3…）$．

點評 關(guān)于做圓周運動的衛(wèi)星類問題，要靈活運用兩個公式，一是萬有引力提供向心力的公式，二是黃金代換式，知道在地球表面的物體由重力提供向心力，難度適中．