Question

5．如圖為機(jī)場(chǎng)行李貨物傳送裝置簡(jiǎn)化圖，由水平傳送帶直線AB和半圓BC兩部分組成，傳送帶的速度大小恒為v=1m/s，AB長(zhǎng)L=2m，圓弧半徑R=1m．現(xiàn)將質(zhì)量m=10kg的貨物無(wú)初速度放上A端，貨物與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，貨物能沿圖中虛線軌跡運(yùn)動(dòng)．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）貨物從A運(yùn)動(dòng)到C的總時(shí)間；
（2）若將傳送帶速度提高，在保證貨物能傳送的到C的前提下，傳送帶最大速度多大？

Answer 1

分析 （1）貨物在摩擦力作用下在AB段先加速后勻速，求得貨物在AB段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在BC段貨物做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由圓周半徑和運(yùn)動(dòng)速度大小求得時(shí)間即可；
（2）貨物在BC段圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)最大靜摩擦力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，從而求得貨物圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度，再比較AB段的加速求出傳送帶的最大速度即可．

解答 解：（1）貨物從A到B在摩擦力作用下先做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為：
a=$\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
貨物勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{1}{5}s=0.2s$
貨物產(chǎn)生的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×5×（\frac{1}{5}）^{2}m=0.1m$
所以在A到B過(guò)程中，貨物勻速運(yùn)動(dòng)的位移為：
x₂=L-x₁=2-0.1m=1.9m
貨物勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{1.9}{1}s=1.9s$
綜上可知，貨物從A到B的總時(shí)間為：t=0.2+1.9s=2.1s
到達(dá)B后，貨物在BC間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所用時(shí)間為：$t′=\frac{{L}_{BC}}{v}=\frac{3.14×1}{1}s=3.14s$
所以貨物從A到C的總時(shí)間：t_總=t+t′=2.1+3.14s=5.24s
（2）貨物在BC段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由靜摩擦力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此有：
${f}_{max}=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
又最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，所以BC段的最大速度為：
${v}_{m}=\sqrt{\frac{{f}_{max}R}{m}}=\sqrt{\frac{0.5×10×10×1}{10}}m/s=\sqrt{5}m/s$
貨物從AB段加速至最大速度時(shí)經(jīng)過(guò)的位移為：x=$\frac{{v}_{m}^{2}-0}{2×5}m=\frac{1}{2}m＜L$
所以傳送帶的最大速度為$\sqrt{5}m/s$
答：（1）貨物從A運(yùn)動(dòng)到C的總時(shí)間為5.24s；
（2）將傳送帶速度提高，在保證貨物能傳送的到C的前提下，傳送帶最大速度為$\sqrt{5}m/s$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是掌握在滑動(dòng)摩擦力作用下物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)模型，知道在圓弧部分運(yùn)動(dòng)向心力由傳送帶間的靜摩擦力提供．