Question

8．如圖所示，穿過光滑水平平面中央小孔O的細線與平面上質量為m的小球P相連，手拉細線的另一端，讓小球在水平面內以角速度ω₁沿半徑為a的圓周做勻速圓周運動．所有摩擦均不考慮． 求：
（1）這時細線上的拉力多大？
（2）若突然松開手中的細線，經(jīng)時間△t再握緊細線，隨后小球沿半徑為b的圓周做勻速圓周運動．試問：△t等于多大？這時的角速度ω₂為多．

Answer 1

分析 由題意可知，小球做勻速圓周運動所需要的向心力是由細線的拉力提供的．則可求出細線上的張力大小；當突然松開手時，小球沿切線方向勻速飛出．當再次握住時，小球又做勻速圓周運動．由半徑a與ω₁可求出飛出之前的速度．再由半徑b，結合運動的分解可求出小球以半徑b做勻速圓周運動的線速度．從而可求出此時的角速度．由于是勻速飛出，所以利用直角三角形，由長度a、b可求出時間．

解答 解：（1）細線上的拉力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：$F=ma{{ω}_{1}}^{2}$
（2）松開手后小球作勻速直線運動：v=aω₁
時間$△t=\frac{s}{v}=\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{a{ω}_{1}}$
小球再次作勻速圓周運動時，線使分速度v₁消失，小球的速度為v₂：
根據(jù)幾何關系得：$sinθ=\frac{a}$
v₂=bω₂=vsinθ
解得：
${ω}_{2}=\frac{{a}^{2}}{^{2}}{ω}_{1}$
答：（1）這時細線上的拉力為$ma{{ω}_{1}}^{2}$；
（2）△t等于$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{a{ω}_{1}}$，這時的角速度ω₂為$\frac{{a}^{2}}{^{2}}{ω}_{1}$．

點評 搞清小球做勻速圓周運動所需要的向心力來源，同時本題巧妙運用三角函數(shù)求出松手前后的線速度關系．值得注意是松手后小球做的是勻速直線運動．