Question

16．在某星系里有A和B兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，已知A的表面重力加速為g₁，半徑為R₁，星球B的半徑為R₂，兩顆星求總質(zhì)量為M，距離為L，萬有引力常量G，求：
（1）此雙星系統(tǒng)周期；
（2）兩顆星球分別的軌道半徑；
（3）B星的密度．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的周期．應(yīng)用牛頓第二定律列方程，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解．

解答 解：（1）設(shè)兩顆星的質(zhì)量分布為m₁和m₂；
對m₁：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$  ①
對m₂：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$    ②
且 r₁+r₂=L     ③
m₁+m₂=M   ④
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
（2）由①②得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$   ⑤
聯(lián)立可得：${r}_{1}=\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$，${r}_{2}=L-{r}_{1}=L-\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$   ⑥
（3）聯(lián)立③④⑥得：${m}_{2}=\frac{GM-{g}_{1}{R}_{1}}{G}$
所以B星的密度：ρ=$\frac{{m}_{2}}{{V}_{2}}=\frac{{m}_{2}}{\frac{4}{3}π{R}_{2}^{3}}$=$\frac{3GM-3{g}_{1}{R}_{1}^{2}}{4πG{R}_{2}^{3}}$
答：（1）此雙星系統(tǒng)周期是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$；
（2）兩顆星球分別的軌道半徑為$\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$和$L-\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$；
（3）B星的密度是$\frac{3GM-3{g}_{1}{R}_{1}^{2}}{4πG{R}_{2}^{3}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會用萬有引力提供向心力進行求解．