Question

8．2014年10月8日，月全食帶來的“紅月亮”亮相天空，引起人們對(duì)月球的關(guān)注．我國(guó)發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用時(shí)間為t，如圖所示．已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g_月，引力常量為G．
試求：（1）月球的質(zhì)量M；
（2）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度h．

Answer 1

分析 （1）在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，結(jié)合周期和軌道半徑的關(guān)系，可計(jì)算出衛(wèi)星的高度

解答 解：（1）月球表面處引力等于重力，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$，得：$M=\frac{{{g_月}{R^2}}}{G}$，
（2）衛(wèi)星的向心力有萬有引力提供，有：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，
又$T=\frac{t}{n}$解得  h=$\root{3}{{\frac{{{g_月}{R^2}{t^2}}}{{4{π^2}{n^2}}}}}-R$．
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$；
（2）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度h為$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個(gè)重要的關(guān)系，要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．