Question

14．如圖所示，一傾斜傳送帶與水平面的傾角θ=37°，以v=10m/s的速率逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)行，M、N為傳送帶的兩個(gè)端點(diǎn)，MN兩點(diǎn)間的距離L=5m，N端有一離傳送帶很近的彈性擋板P，在傳送帶上的M處由靜止釋放質(zhì)量為1kg的木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），木塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，木塊由靜止釋放后沿傳送帶向下運(yùn)動(dòng)，并與擋板P發(fā)生碰撞．已知碰撞時(shí)間極短，木塊與擋板P碰撞后速度大小為碰撞前的一半，sin37°=0.6，g取10m/s²．傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦．求：
（1）木塊被釋放后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間與擋板P第二次碰撞？
（2）木塊運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間和總路程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在下降過(guò)程和上升過(guò)程中的加速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出下滑過(guò)程和上升過(guò)程的時(shí)間和位移，求出第二次與擋板碰撞的時(shí)間；
（2）應(yīng)用牛頓第二定律與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式求出前幾次碰撞的時(shí)間和位移．時(shí)間和位移按等比規(guī)律變化，由數(shù)學(xué)等比數(shù)列求和公式求出總時(shí)間和總路程

解答 解：（1）木塊相對(duì)傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，受到沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律，有
$mgsn37°+μmgcos37°=m{a}_{1}^{\;}$
得${a}_{1}^{\;}=gsin37°+μgcos37°=10m/{s}_{\;}^{2}$
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間${t}_{1}^{\;}$，物塊與傳送帶速度相等$v={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
得${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{10}{10}s=1s$
勻加速運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×{1}_{\;}^{2}=5m$=L，即速度相等時(shí)木塊與擋板碰撞
木塊與擋板碰撞后速度大小為碰撞前的一半，即碰撞后以5m/s反彈，沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定律
$mgsin37°+μmgcos37°=m{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=10m/{s}_{\;}^{2}$
向上勻減速的時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{v′}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{5}{10}s=0.5s$
向上勻減速運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{2}^{\;}=\frac{v{′}_{\;}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{{5}_{\;}^{2}}{20}=1.25m$
向下勻加速${a}_{3}^{\;}={a}_{1}^{\;}=10m/{s}_{\;}^{2}$
${x}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{2}$
得${t}_{3}^{\;}=\sqrt{\frac{2{x}_{3}^{\;}}{{a}_{3}^{\;}}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}=0.5s$
木塊被釋放后與擋板P第二次碰撞的時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=1+0.5+0.5=2s$
（2）木塊第二次與擋板碰撞的速度${v}_{2}^{\;}=\sqrt{2{a}_{3}^{\;}{x}_{3}^{\;}}=\sqrt{2×10×1.25}=5m/s$
第三次與擋板碰撞后的速度${v}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{2}^{\;}=（\frac{1}{2}）_{\;}^{2}{v}_{1}^{\;}$=2.5m/s
減速到0的時(shí)間${t}_{4}^{\;}=\frac{2.5}{10}=0.25s$
向下做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{5}^{\;}={t}_{4}^{\;}=0.25s$
第3次與擋板碰撞后向上勻減速運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{4}^{\;}=\frac{{v}_{3}^{2}}{2{a}_{3}^{\;}}=\frac{2．{5}_{\;}^{2}}{20}=0.3125$m
總時(shí)間t=1+0.5+0.5+0.25+0.25+0.125+0.125+…=3s
總路程s=5+1.25+1.25+0.3125+0.3125+…═$8\frac{1}{3}m$
答：（1）木塊被釋放后經(jīng)2s時(shí)間與擋板P第二次碰撞
（2）木塊運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間3s和總路程$8\frac{1}{3}m$

點(diǎn)評(píng) 本題為多過(guò)程多物體問(wèn)題，過(guò)程較為復(fù)雜，解題的關(guān)鍵理清每一段過(guò)程，分別運(yùn)用牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析求解即可；要求思路要清晰，按步驟一步步進(jìn)行即可求解．