Question

4．如圖所示，水平方向的圓形磁場(chǎng)區(qū)域與豎直邊界MN相切于C點(diǎn)，磁場(chǎng)半徑為R，C點(diǎn)與磁場(chǎng)圓心O等高．邊界PQ、熒光屏GH均與MN平行，且MN與PQ之間間距為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，PQ與GH之間的間距為R．在PQ、GH間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qR}$．現(xiàn)從O點(diǎn)正下方的A點(diǎn)同時(shí)垂直磁場(chǎng)方向射入兩個(gè)相同的帶電粒子1和2，它們的質(zhì)量為m，電量為+q，速度大小均為v₀；粒子1的速度方向指向O點(diǎn)，粒子2的速度方向與AO成30⁰夾角斜向右上方．粒子1恰能從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)．粒子視為質(zhì)點(diǎn)，在圖示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力、重力，忽略邊緣效應(yīng)．
（1）求圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）求兩粒子2從進(jìn)入磁場(chǎng)到熒光屏所用時(shí)間t．

Answer 1

分析 粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，涉及兩圓相交的幾何知識(shí)，最能考察數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．
（1）根據(jù)粒子1從A點(diǎn)沿AO射入，從C點(diǎn)射出，可以知道粒子的軌道半徑為R，從而求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）粒子2只是入射方向不同，根據(jù)半徑相同的兩圓相交的性質(zhì)得到：粒子2出射方向恰與MN垂直．出射點(diǎn)與MN的水平距離為R-Rcos30°，所以水平勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移除以速度得到第二階段的時(shí)間．水平進(jìn)入電場(chǎng)后又做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平位移求出時(shí)間．

解答 解：（1）粒子1從A射入從C點(diǎn)射出，由幾何關(guān)系得到粒子1在磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：
r₁=R        ①
對(duì)粒子1在磁場(chǎng)中有：
$q{v}_{0}B=\frac{{{mv}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$     ②
聯(lián)立得：$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}$．
（2）粒子2以AO成30°入射，也做半徑為r₂=R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)相交圓的性質(zhì)知：粒子2轉(zhuǎn)過(guò)60°從D點(diǎn)射出，在磁場(chǎng)里所用時(shí)間為：
${t}_{1}=\frac{1}{6}T=\frac{πR}{3{v}_{0}}$
由于粒子2開始與豎直方向成30°入射，又轉(zhuǎn)過(guò)60°，則離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向恰與MN垂直．那么在MP之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
${t}_{2}=\frac{MP+R-Rcos30°}{{v}_{0}}=\frac{R}{{v}_{0}}$
進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為
${t}_{3}=\frac{R}{{v}_{0}}$
所以總時(shí)間為$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{π+6}{3{v}_{0}}R$
答：（1）圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}}{qR}$．
（2）粒子2從進(jìn)入磁場(chǎng)到熒光屏所用時(shí)間為$\frac{π+6}{3{v}_{0}}R$

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于粒子2進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的出射點(diǎn)問(wèn)題，涉及到相交圓的性質(zhì)定理，易錯(cuò)點(diǎn)在于離開磁場(chǎng)后水平勻速直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的位移，這又考察到幾何知識(shí)．至于在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平位移就可求出時(shí)間．