Question

16．某雙星系統(tǒng)由兩個質(zhì)量分別為m₁和m₂的恒星組成，它們在相互引力的作用下，繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動，已知兩恒星之間的距離為L，萬有引力常量為G，試求恒星m₁的軌道半徑和線速度大�。�

Answer 1

分析 兩顆恒星都做勻速圓周運動，兩顆恒星之間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解兩星體繞共同圓心做勻速圓周運動的軌道半徑之比，結(jié)合兩星體中心距離為L，求解出半徑，然后進一步根據(jù)萬有引力定律提供向心力列式求出線速度．

解答 解：兩顆恒星都做勻速圓周運動，兩顆恒星之間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
對m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}^{2}}$①
對m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}^{2}}$②
故：m₁r₁=m₂r₂
由于r₁+r₂=L，解得：
r₁=$\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$④
對于m₁有$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${v}_{1}={m}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{m}_{1}+{m}_{2}）L}}$
答：恒星m₁的軌道半徑為$\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，線速度大小為${m}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{m}_{1}+{m}_{2}）L}}$．

點評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關(guān)鍵抓住條件：角速度和周期相同．