Question

13．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態(tài)時其右端位于B點．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后彈簧恢復(fù)原長時物塊恰停止在B點．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點釋放，物塊過B點時速度為6m/s，物塊與桌面的動摩擦因數(shù)μ=0.4，B、D間水平距離S_BD=2.5m，物塊飛離桌面后由P點沿切線落入圓軌道．（不計空氣阻力，g=10m/s²）求：
（1）物塊離開桌面D時的速度大小；
（2）P點到桌面的豎直距離h；
（3）判斷m₂能否沿圓軌道到達M點（要求計算過程）；
（4）釋放后m₂運動過程中克服桌面摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）對BD過程，運用動能定理列式，可求出物塊離開桌面D時的速度大�。�
（2）物塊離開D點做平拋運動，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達P點的速度方向，將P點的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)豎直方向上做自由落體運動求出豎直分速度，再求h．
（3）物塊在內(nèi)軌道做圓周運動，在最高點有臨界速度，則mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，根據(jù)機械能守恒定律，求出M點的速度，與臨界速度進行比較，判斷其能否沿圓軌道到達M點．
（4）釋放兩個物體時彈簧的彈性勢能相等，由釋放過程，由能量守恒列式．再由動能定理列式，可求m₂運動過程中克服桌面摩擦力做的功．

解答 解：（1）設(shè)物塊離開桌面D時的速度為 v_D．由動能定理可得：
-μm₂gS_BD=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$
得：v_D=4m/s
（2）設(shè)物塊落到P點時其豎直速度為v_y．
由$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan45°，${v}_{y}^{2}$=2gh                 
得：h=0.8m      
（3）若物塊能沿軌道到達M點，其速度為v_D．根據(jù)機械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{M}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}{m}_{2}gR$
得：${v}_{M}^{2}$=16-8$\sqrt{2}$（m²/s²）
若物塊恰好能沿軌道過M點，則有：m₂g=${m}_{2}\frac{{v}_{M}^{{′}^{2}}}{R}$
解得：${v}_{M}^{′2}$=8＞${v}_{M}^{2}$，所以物塊不能到達M點 
（4）設(shè)彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，
釋放m₁時有：E_p=μm₁gS_CB        
釋放m₂時有：E_p=μm₂gS_CB+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$
且m₁=2m₂，可得 E_p=m₂${v}_{D}^{2}$=7.2J
m₂在桌面上運動過程中克服摩擦力做功為W_f，則：E_p-W_f=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$          
得：W_f=5.6J
答：（1）物塊離開桌面D時的速度大小是4m/s；
（2）P點到桌面的豎直距離h是0.8m；
（3）判斷m₂不能沿圓軌道到達M點；
（4）釋放后m₂運動過程中克服桌面摩擦力做的功是5.6J．

點評 該題涉及到多個運動過程，主要考查了機械能守恒定律、平拋運動基本公式、圓周運動向心力公式的應(yīng)用，用到的知識點及公式較多，關(guān)鍵要把握最高點的臨界條件．