Question

8．如圖甲所示，固定軌道由傾角為θ的斜導(dǎo)軌與水平導(dǎo)軌用極短的圓弧導(dǎo)軌平滑連接而成，軌道所在空間存在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，上端用阻值為R的電阻連接．在沿斜導(dǎo)軌向下的拉力（圖中未畫(huà)出）作用下，一質(zhì)量為m的金屬桿MN從斜導(dǎo)軌上某一高度處由靜止開(kāi)始（t=0）沿斜導(dǎo)軌勻加速下滑，當(dāng)桿MN滑至斜軌道的最低端P₂Q₂處時(shí)撤去拉力，桿MN在水平導(dǎo)軌上減速運(yùn)動(dòng)直至停止，其速率v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示（其中v_m和t₀為已知）．桿MN始終垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持良好接觸，導(dǎo)軌和桿MN的電阻以及一切摩擦均不計(jì)．求：
（1）桿MN中通過(guò)的最大感應(yīng)電流I_m；
（2）桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量q；
（3）撤去拉力后，桿MN在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的路程s．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)E=BLv和閉合電路的歐姆定律求解感應(yīng)電流的最大值；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律結(jié)合電荷量的計(jì)算公式求解桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量；
（3）根據(jù)平均加速度和安培力的關(guān)系計(jì)算撤去拉力后，桿MN在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的路程s．

解答 解：（1）經(jīng)分析可知，桿MN下滑到P₂Q₂處時(shí)的速度最大（設(shè)為v_m），此時(shí)回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，且最大值為：E_m=BLv_m，
此時(shí)回路中通過(guò)的感應(yīng)電流最大，有：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R}$，
解得：I_m=$\frac{BL{v}_{m}}{R}$；
（2）桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的距離為：x=$\frac{{v}_{m}}{2}{t}_{0}$；
在桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，穿過(guò)回路的磁通量的變化為：△Ф=BLxcos θ，
該過(guò)程，回路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：$\overline{E}=\frac{△Φ}{{t}_{0}-0}$，
回路中通過(guò)的平均感應(yīng)電流為：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$；
又：q=$\overline{I}{t}_{0}$，
解得：q=$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{2R}$；
（3）撤去拉力后，桿MN在水平導(dǎo)軌上做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)某時(shí)刻其速度大小為v，
則此時(shí)回路中通過(guò)的感應(yīng)電流為：I=$\frac{BLv}{R}$，
設(shè)此時(shí)桿MN的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：BIL=ma，
設(shè)在趨近于零的時(shí)間△t內(nèi)，桿MN的速度變化的大小為△v，有：a=$\frac{△v}{△t}$，
由以上三式可得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}•v△t=m△v$，
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}•s=m（{v}_{m}-0）$，
解得：s=$\frac{mR{v}_{m}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）桿MN中通過(guò)的最大感應(yīng)電流為$\frac{BL{v}_{m}}{R}$；
（2）桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量為$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{2R}$；
（3）撤去拉力后，桿MN在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的路程為$\frac{mR{v}_{m}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下物體的平衡問(wèn)題；另一條是能量，分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．