Question

16．如圖所示，輕彈簧的一端固定在傾角為30°的光滑直軌道AC的底端A處，另一端連接一質(zhì)量為m的鋼板，鋼板靜止時(shí)，輕彈簧的壓縮量為x₀．一質(zhì)量也為m的小滑塊從軌道上距鋼板為3x₀處的C點(diǎn)自由釋放，打在鋼板上后立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，恰好能到達(dá)O點(diǎn)．已知重力加速度大小為g，小滑塊與鋼板均可視為質(zhì)點(diǎn)，小滑塊與鋼板的碰撞時(shí)間極短可以忽略．
（1）求輕彈簧的勁度系數(shù)及小滑塊與鋼板碰完后速度最大時(shí)離O點(diǎn)的距離；
（2）求小滑塊與鋼板剛碰完時(shí)的速度；
（3）若小滑塊的質(zhì)量為2m，仍從C點(diǎn)處自由釋放，則小滑塊沿軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)離O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）研究鋼板靜止時(shí)的狀態(tài)，由平衡條件和胡克定律結(jié)合求彈簧的勁度系數(shù)．鋼板碰完后速度最大時(shí)合力為零，由平衡條件和胡克定律求速度最大位置到O點(diǎn)的距離．
（2）先研究碰撞前小滑塊下滑的過程，由動(dòng)能定理求得碰撞前小滑塊的速度．再研究碰撞過程，由動(dòng)量守恒定律求小滑塊與鋼板剛碰完時(shí)的速度．
（3）先研究質(zhì)量為m的滑塊從碰撞完到O點(diǎn)的過程，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式．再研究小滑塊的質(zhì)量為2m時(shí)的情況，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求小滑塊沿軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)離O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）鋼板靜止時(shí)，有 mgsin30°=kx₀．
得 k=$\frac{mg}{2{x}_{0}}$
設(shè)小滑塊與鋼板碰完后速度最大時(shí)離O點(diǎn)的距離為x₁．此時(shí)小滑塊和鋼板的合力為零，則
   2mgsin30°=kx₁．
解得 x₁=2x₀．
（2）設(shè)滑塊與鋼板碰撞前的速度為v₀．碰前，由動(dòng)能定理得：
  mg•3x₀sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{3g{x}_{0}}$
設(shè)碰撞后小滑塊與鋼板一起開始向下運(yùn)動(dòng)的速度為v，對(duì)于碰撞過程，取沿斜面向下方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
解得：v₁=$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$
（3）設(shè)剛碰撞完彈簧的彈性勢(shì)能為E_p．則從碰撞完到O點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：
  E_p+$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$=2mgx₀sin30°
小滑塊的質(zhì)量換成2m后，與鋼板碰撞時(shí)的速度大小仍為v₀．設(shè)碰撞后瞬間的速度大小v₂．返回O點(diǎn)時(shí)的速度為v₃．
碰撞過程由動(dòng)量守恒定律得：
  2mv₀=3mv₂．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
   E_p+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{2}^{2}$=3mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{3}^{2}$
設(shè)小滑塊從O點(diǎn)繼續(xù)上滑的距離為x，由動(dòng)能定理得：
-2mgxsin30°=0-$\frac{1}{2}（2m）{v}_{3}^{2}$
解得：x=$\frac{{x}_{0}}{2}$
答：
（1）輕彈簧的勁度系數(shù)是$\frac{mg}{2{x}_{0}}$，小滑塊與鋼板碰完后速度最大時(shí)離O點(diǎn)的距離是2x₀．
（2）小滑塊與鋼板剛碰完時(shí)的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$；
（3）若小滑塊的質(zhì)量為2m，仍從C點(diǎn)處自由釋放，則小滑塊沿軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)離O點(diǎn)的距離是$\frac{{x}_{0}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，如碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒定律．物體壓縮彈簧的過程，系統(tǒng)遵守機(jī)械能守恒定律，并要找出狀態(tài)之間的聯(lián)系．