Question

14．同學(xué)們參照伽利略時(shí)期演示平拋運(yùn)動(dòng)的方法制作了如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置．圖中水平放置的底板上豎直地固定有M板和N板．M板上部有一半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧形的粗糙軌道，P為最高點(diǎn)，Q為最低點(diǎn)，Q點(diǎn)處的切線水平，距底板高為H．N板上固定有三個(gè)圓環(huán)．將質(zhì)量為m的小球從P處?kù)o止釋放，小球運(yùn)動(dòng)至Q飛出后無(wú)阻礙地通過(guò)各圓環(huán)中心，落到底板上距Q水平距離為L(zhǎng)處．不考慮空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（2）小球在Q點(diǎn)對(duì)軌道壓力的大小和方向；
（3）摩擦力對(duì)小球做的功；
（4）距Q水平距離為$\frac{L}{2}$的圓環(huán)中心到底板的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合水平位移和時(shí)間求出Q點(diǎn)的速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出Q點(diǎn)的支持力，從而得出壓力的大�。�
（3）對(duì)P到Q的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出摩擦力做功．
（4）根據(jù)水平位移求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合位移時(shí)間公式求出下降的高度，從而得出距Q水平距離為$\frac{L}{2}$的圓環(huán)中心到底板的高度．

解答 解：（1）豎直方向上有：H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，水平方向上有：L=v_Qt，
聯(lián)立解得：${v}_{Q}=L\sqrt{\frac{g}{2H}}$．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{Q}}^{2}}{R}$，
解得：${F}_{N}=mg+\frac{mg{L}^{2}}{2HR}$，
根據(jù)牛頓第三定律知，小球在Q點(diǎn)對(duì)軌道壓力的大小為$mg+\frac{mg{L}^{2}}{2HR}$，方向向下．
（3）從P到Q由動(dòng)能定理得：$mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-0$，
解得：W_f=$\frac{mg{L}^{2}}{4H}-mgR$．
（4）根據(jù)$\frac{L}{2}={v}_{Q}{t}_{1}$，${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，h=H-h₁得聯(lián)立解得：h=$\frac{3}{4}H$．
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度的大小為$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$；
（2）小球在Q點(diǎn)對(duì)軌道壓力的大小為$mg+\frac{mg{L}^{2}}{2HR}$，方向向下；
（3）摩擦力對(duì)小球做的功為$\frac{mg{L}^{2}}{4H}-mgR$；
（4）距Q水平距離為$\frac{L}{2}$的圓環(huán)中心到底板的高度為$\frac{3}{4}H$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．