Question

1．如圖1所示，在平行邊界MN、PQ之間存在寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)周期性變化的規(guī)律如圖2所示，取豎直向下為電場(chǎng)正方向；在平行邊界MN、EF之間存在寬度為S、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，在PQ右側(cè)有寬度足夠大的方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ．在磁場(chǎng)Ⅰ中距PQ距離為L(zhǎng)的A點(diǎn)，有一質(zhì)量為m、電荷量為+q、重力不計(jì)的粒子以初速度v₀沿豎直向上方向開始運(yùn)動(dòng)，以此作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間粒子又恰好回到A點(diǎn)，如此循環(huán)，粒子循環(huán)運(yùn)動(dòng)一周，電場(chǎng)恰好變化一個(gè)周期，已知粒子離開 I區(qū)域進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度恰好與電場(chǎng)方向垂直，cos37°=0.8，sin37°=0.6，求：

（1）Ⅰ區(qū)域的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁；
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，確定Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度S的最小值以及磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂；
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，電場(chǎng)的變化周期T．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在Ⅰ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎起方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，分別對(duì)兩個(gè)方向運(yùn)用位移時(shí)間公式列式，由圖中幾何關(guān)系求出粒子在Ⅱ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而求出要實(shí)現(xiàn)題述循環(huán)，Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度s應(yīng)滿足的條件及磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{2}^{\;}$；
（3）分段求出粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求解總時(shí)間即可．

解答 解：（1）粒子在Ⅰ區(qū)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=L，根據(jù)牛頓第二定律有$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{q{B}_{1}^{\;}}$
聯(lián)立解得：${B}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)離開電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度為${v}_{y}^{\;}$：
${v}_{y}^{\;}=at=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}×\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{4{v}_{0}^{\;}}{3}$
離開電場(chǎng)時(shí)速度與水平方向的夾角為θ，則有
$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{4}{3}$，得θ=53°
粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度為$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{cos53°}=\frac{5{v}_{0}^{\;}}{3}$
畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示，

粒子在Ⅱ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為${O}_{2}^{\;}$與在Ⅰ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心${O}_{1}^{\;}$的連線必須與邊界垂直才能完成上述運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系知粒子在Ⅱ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為
$R′=\frac{L-\frac{2L}{3}}{cos53°}=\frac{5}{9}L$
所以$s≥R′（1-sin53°）=\frac{1}{9}L$
$R′=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$
解得${B}_{2}^{\;}=\frac{3m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（3）電場(chǎng)變化的周期等于粒子運(yùn)動(dòng)的周期
粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{1}^{\;}}{2}=\frac{πm}{q{B}_{1}^{\;}}=\frac{πL}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在Ⅱ區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{3}^{\;}=\frac{37}{180}×\frac{2πr}{v}=\frac{37πL}{270{v}_{0}^{\;}}$
所以周期為：$T={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{307π+540}{270{v}_{0}^{\;}}L$
答：（1）Ⅰ區(qū)域的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{1}^{\;}$為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qL}$；
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，確定Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度S的最小值$\frac{1}{9}L$以及磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{2}^{\;}$為$\frac{3m{v}_{0}^{\;}}{qL}$；
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，電場(chǎng)的變化周期T為$\frac{307π+540}{270{v}_{0}^{\;}}L$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，選擇合適的規(guī)律解題．