Question

4．神舟十號(hào)飛船環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，求：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）飛船距離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求出飛船離地球表面的高度

解答 解：（1）不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的物體受到的重力約等于地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力．設(shè)物體的質(zhì)量為m₀，有：
$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得地球的質(zhì)量為：
$M=\frac{{R}^{2}g}{G}$
（2）地球?qū)︼w船的萬(wàn)有引力提供其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有：
$G\frac{M{m}_{\;}}{{（R+h）}^{2}}={m}_{\;}（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：$h=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
答：（1）地球的質(zhì)量M為$\frac{{R}^{2}g}{G}$；
（2）飛船距離地面的高度h為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用，注意飛船的高度和飛船的軌道半徑是兩個(gè)不同的概念．