Question

7．如圖所示，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)是垂直紙面向外的勻強磁場，左邊區(qū)域足夠大、右邊區(qū)域為一矩形，區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁感應強度大小為B，區(qū)域Ⅲ內(nèi)磁感應強度大小為2B，區(qū)域Ⅱ為方向垂直于邊界的勻強電場區(qū)，兩條豎直虛線是其邊界線，電場區(qū)域寬度為d，一個帶正電的粒子沿磁場邊界從A點以速度v₀射入左側磁場區(qū)域，依次通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ區(qū)域運行一周后恰回到A點，若粒子在區(qū)域Ⅰ的磁場中的軌道半徑為d，整個裝置在真空中，不計粒子的重力，求：
（1）帶電粒子的比荷和區(qū)域Ⅱ內(nèi)電場的電場強度大�。�
（2）帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后恰回到A點的時間T和區(qū)域Ⅲ磁場的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子從A點出發(fā)，依次通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ區(qū)域運行一周后恰好回到A點，可知運動軌跡；根據(jù)帶電粒子在Ⅰ區(qū)域洛侖茲力作用下做圓周運動可計算出比荷；帶電粒子在Ⅲ區(qū)域洛侖茲力作用下做圓周運動，結合比荷可計算粒子在Ⅲ區(qū)域的速度，對粒子通過Ⅱ區(qū)域用動能定理可求電場強度；
（2）分段計算帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、區(qū)域的時間再求和即可求得回到A點的時間T；區(qū)域Ⅲ矩形磁場的最小面積為為能覆蓋區(qū)域Ⅲ中圓弧的即可，邊長分別為R和2R．

解答 解：（1）因粒子從A點出發(fā)，依次通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ區(qū)域運行一周后恰好回到A點，由對稱性可知粒子做圓周運動的半徑為r=d，如右側上圖．由：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{Bd}$
帶電粒子進入Ⅲ區(qū)域的速度為v，由：$qv2B=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，
解得：v=2v₀
帶電粒子通過電場區(qū)域，根據(jù)動能定理：$Eqd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：E=$\frac{3}{2}Bd{v}_{0}$
（2）帶電粒子通過Ⅰ區(qū)域的時間：t₁=$\frac{πd}{{v}_{0}}$
帶電粒子每次通過Ⅱ區(qū)域的時間：t₂=$\fracb1ffpbf{\frac{{v}_{0}+v}{2}}$=$\frac{2d}{{3v}_{0}}$
帶電粒子通過Ⅲ區(qū)域的時間：t₃=$\frac{πd}{v}$=$\frac{πd}{2{v}_{0}}$
帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后恰回到A點的時間：T=t₁+2t₂+t₃=$\frac{（9π+8）d}{6{v}_{0}}$
右邊磁場區(qū)域為一矩形，其最小面積能覆蓋右側圓弧即可：s=d×2d=2d²
答：（1）帶電粒子的比荷為$\frac{{v}_{0}}{Bd}$，區(qū)域Ⅱ內(nèi)電場的電場強度大小為$\frac{3}{2}Bd{v}_{0}$．
（2）帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后恰回到A點的時間T=$\frac{（9π+8）d}{6{v}_{0}}$，區(qū)域Ⅲ磁場的最小面積為2d²．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，解題關鍵是畫出粒子的運動軌跡，運用幾何知識，結合力學、運動學規(guī)律即可解決．