Question

11．在如圖所示的空間內(nèi)有豎直向下的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，有界電場(chǎng)的寬度為d，在勻強(qiáng)電場(chǎng)兩側(cè)區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中左側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度未知，右側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電正電粒子，從電場(chǎng)左邊界的A點(diǎn)以速度v₀垂直電場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，粒子的在第一次離開電場(chǎng)時(shí)，速度方向與邊界的夾角為45°，且粒子在左、右側(cè)磁場(chǎng)中第一次運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑相等，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小；
（2）粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡半徑；
（3）左側(cè)磁場(chǎng)的感應(yīng)應(yīng)強(qiáng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（2）根據(jù)第（1）問題，求得進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，結(jié)合半徑公式，即可求解軌跡的半徑；
（3）當(dāng)粒子再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，可求得粒子第一次進(jìn)入左側(cè)磁場(chǎng)時(shí)的速度，最后根據(jù)半徑公式，即可求解．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)力作用下，做類平拋運(yùn)動(dòng)，可將此運(yùn)動(dòng)分解成水平方向與豎直方向，
因速度方向與邊界的夾角為45°，根據(jù)牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，
則有：t=$\fracudguwgn{{v}_{0}}$；
v_y=v₀=at；
而a=$\frac{qE}{m}$；
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（2）根據(jù)速度的合成，則有：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀；
而粒子以v進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由洛倫茲力提供向心力，則半徑為R=$\frac{\sqrt{2}{mv}_{0}}{Bq}$

（3）由于洛倫茲力對(duì)粒子不做功，則粒子仍將以原來速度進(jìn)入電場(chǎng)，
在電場(chǎng)力作用下，做類斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，
則有：豎直方向的速度v_y′=v_y0+at=v₀+$\frac{{v}_{0}^{2}}lwwhmsb$$\fraczdnyylm{{v}_{0}}$=2v₀；
那么進(jìn)入左側(cè)磁場(chǎng)時(shí)的速度v′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（2{v}_{0}）^{2}}$=$\sqrt{5}$v₀；
由于粒子在左、右側(cè)磁場(chǎng)中第一次運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑相等，
因此則有：$\frac{m•\sqrt{5}{v}_{0}}{B′q}$=$\frac{m•\sqrt{2}{v}_{0}}{Bq}$
解得：B′=$\frac{\sqrt{10}}{2}B$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（2）粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡半徑$\frac{\sqrt{2}{mv}_{0}}{Bq}$；
（3）左側(cè)磁場(chǎng)的感應(yīng)應(yīng)強(qiáng)度$\frac{\sqrt{10}}{2}B$．

點(diǎn)評(píng) 考查類平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，掌握牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用，理解半徑公式的內(nèi)容，注意正確畫出運(yùn)動(dòng)軌跡．