Question

20．如圖，一半徑為R=1m的光滑圓形軌道豎直放置，一傾角為θ=37°的粗糙斜面與圓形軌道相切，斜面上端為平臺并與圓形軌道最高點等高，斜面動摩擦因素為μ=0.75，一人在平臺上距斜面上端A點水平距離為x處以一定的初速度水平拋出一質(zhì)量為m=1kg的物體（可看著質(zhì)點），設拋出點高度為H，要使物體剛好能沿斜面AB相切的初速度由A點切入斜面，則：
（1）寫出H、x應滿足的關系式？
（2）要使物體能通過圓弧最高點，物體拋出時的高度H應多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運動時，剛好能沿斜面AB相切的初速度由A點切入斜面，通過A點的速度沿斜面向下，與水平方向夾角為θ=37°．根據(jù)分位移、分速度公式結(jié)合速度關系求解．
（2）要使物體能通過圓弧最高點，在最高點的速度應大于等于$\sqrt{gR}$，由動能定理求H的條件．

解答 解：（1）物體從拋出到A點做平拋運動，在A點時有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2gH}}{{v}_{0}}$
x=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
聯(lián)立解得 H=$\frac{9{x}^{2}}{64}$
（2）設斜面長為L，由幾何知識有 L=$\frac{R（1+cos37°）}{sin37°}$=3m
要使物體能通過圓弧最高點，在最高點應滿足的條件是：m$\frac{v{′}^{2}}{R}$≥mg
從拋出到圓弧最高點，由動能定理有：
  mgH-μmgcos37°L=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
聯(lián)立解得 H≥2.3m
答：
（1）H、x應滿足的關系式為H=$\frac{9{x}^{2}}{64}$．
（2）要使物體能通過圓弧最高點，物體拋出時的高度H應滿足：H≥2.3m．

點評 本題考查了平拋運動、牛頓第二定律和動能定理的基本運用，關鍵要明確物塊在圓周運動最高點的臨界情況，運用分解法研究平拋運動，結(jié)合動能定理和牛頓第二定律進行研究．