Question

8．如圖所示，某放射源放出的帶電粒子經(jīng)過某種方式篩選后，得到一束從原點O處沿同一方向射入第一象限，質(zhì)量均為m，電量均為+q的粒子，粒子初速度方向與x軸成θ角，但初速度大小從0到v₀之間的值都有．在整個第一象限加上沿y軸負方向，大小為E的勻強電場，忽略重力以及粒子之間的作用力．
（1）初速度為v₀的粒子軌跡頂點坐標；
（2）若在第一象限部分區(qū)域保留電場，其余部分電場都舍去，則可讓所有粒子通過保留電場區(qū)域后速度方向均沿x軸正方向．請寫出最小保留區(qū)域邊界方程，并在圖中大致畫出；
（3）若還要將（2）問中所有粒子匯聚在x軸上距原點O為L（足夠遠）的P點，在第一象限還應保
留哪一部分面積最小的勻強電場區(qū)域，請簡要說明并在圖中大致畫出．保留必要的電場后，不同初速度的粒子從O運動到P的時間不同，求出這些時間中的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中沿y軸方向做勻減速運動，x軸方向做勻速直線運動，根據(jù)運動的合成與分解求得軌跡頂點的位置坐標；
（2）電場的上邊界為最大速度時對應的軌跡方程（從出發(fā)到頂點部分），下邊界由不同速度的粒子頂點構成的方程；
（3）粒子在同一點射出，根據(jù)粒子在電場中運動的對稱性得出第一象限保留的電場區(qū)域面積，粒子在電場中水平方向的速度大小不變，故粒子運動最短時間對應粒子速度最大時的運動時間，根據(jù)速度時間關系求解即可．

解答 解：（1）初速度為v₀的粒子到達頂點時
豎直方向：$\frac{qE}{m}t={v}_{0}sinθ$，
縱坐標為：y=$\frac{{v}_{0}sinθ}{2}t$=$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$
水平方向：橫坐標為：x=v₀cosθ•t=$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$
（2）每個粒子只要是在自己軌跡頂點出電場，即可水平出射，即：電場區(qū)域的下邊界由所有粒子軌跡定點構成，由（1）得：軌跡定點坐標為：
y=$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$，x=$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$，
因為初速度v₀為變量參數(shù)，故兩式消去v₀得頂點軌跡（電場區(qū)域下邊緣）方程為：
$y=\frac{sinθ}{2cosθ}x$=$\frac{tanθ}{2}x$
電場區(qū)域上邊緣方程，為初速度為v₀的粒子軌跡方程（從出發(fā)到頂點部分）：
t時刻粒子坐標為：x=v₀tcsoθ，y=${v}_{0}tsinθ-\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
兩式中消去時間t得：$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$
綜上：電場區(qū)域上邊界方程為：$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$
電場區(qū)域下邊界方程為：y=$\frac{tanθ}{2}x$
分布如圖所示：

（3）在電場中只受電場力運動的對稱性可知，要將所有已水平向右出射的粒子全部集中于P點，只需將（2）中的電場區(qū)域關于x=$\frac{L}{2}$對稱過去即可．
因為每個粒子水平方向一直都在做勻速直線運動，且水平位移都為L，故水平速度最大的時間最短，即初速度為v₀的粒子運動時間最短，最短時間為：
${t}_{min}=\frac{L}{{v}_{0}cosθ}$
公布如下圖所示：

答：（1）初速度為v₀的粒子軌跡頂點坐標為（$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$，$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$）；
（2）若在第一象限部分區(qū)域保留電場，其余部分電場都舍去，則可讓所有粒子通過保留電場區(qū)域后速度方向均沿x軸正方向．最小保留區(qū)域上邊界方程為$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$，下邊界方程為y=$\frac{tanθ}{2}x$，大致如上圖所示；
（3）若還要將（2）問中所有粒子匯聚在x軸上距原點O為L（足夠遠）的P點，在第一象限還應保
留哪一部分面積最小的勻強電場區(qū)域，請簡要說明并在圖中大致畫出．保留必要的電場后，不同初速度的粒子從O運動到P的時間不同，這些時間中的最小值為$\frac{L}{{v}_{0}cosθ}$．

點評 弄清粒子在電場中的運動規(guī)律作出粒子可能的運動軌跡是正確處理問題的關鍵，注意粒子只在電場力作用下的對稱性是解決問題的關鍵．