Question

6．如圖所示，已知一傳送帶以 v₀=5m/s 的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶長(zhǎng)度為s=5.5m，將一質(zhì)量為m=2kg的物塊輕輕放在傳送帶的底端，物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，傳送帶與水平面之間成30°．
（1）物塊運(yùn)動(dòng)到頂端B時(shí)速度為多大；
（2）物塊從底端A運(yùn)動(dòng)到頂端B所用的時(shí)間為多少；
（3）若傳送帶仍以5m/s的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，且物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則物塊輕放在傳送帶頂端B點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，傳送帶長(zhǎng)度為$\frac{395}{56}$m，其它條件均不變，則到達(dá)底端A時(shí)所用的時(shí)間為多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的位移，判斷出勻加速位移小于傳送帶的長(zhǎng)度，之后以共同速度勻速運(yùn)動(dòng)到頂端；
（2）分別求出勻加速運(yùn)動(dòng)和勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求出總時(shí)間；
（3）物塊在傳送帶上先做勻加速運(yùn)動(dòng)，求出加速度和相應(yīng)的位移，速度相等后，以另一加速度繼續(xù)做勻加速運(yùn)動(dòng)，求出時(shí)間，即可求出到底端A的時(shí)間；

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律可知
$μmgcosθ-mgsinθ=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=2.5$m/s²
由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知
${v}_{\;}^{2}=2{a}_{1}^{\;}{x}_{1}^{\;}$
解得${x}_{1}^{\;}=5m＜5.5m$
即到達(dá)B端時(shí)的速度為5m/s
（2）由（1）可知物塊先做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)再勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，即有
${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{B}^{\;}-0}{{a}_{1}^{\;}}$
解得${t}_{1}^{\;}=2s$
${t}_{2}^{\;}=\frac{s-{x}_{1}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}}$
解得${t}_{2}^{\;}=0.1s$
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}$
解得t=2.1s
（3）由牛頓第二定律有
$mgsinθ+μmgcosθ=m{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=\frac{35}{4}$m/s²
${t}_{3}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{4}{7}s$
${x}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{3}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{35}{4}×（\frac{4}{7}）_{\;}^{2}=\frac{10}{7}m$，
${x}_{4}^{\;}=x-{x}_{3}^{\;}=\frac{45}{8}m$
解得${x}_{3}^{\;}=\frac{10}{7}m$
當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)到和傳送帶等速時(shí)，此時(shí)物塊受到傳送帶的摩擦力沿著斜面向上，則有
$mgsinθ-μmgcosθ=m{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{3}^{\;}=gsinθ-μgcosθ=10×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5}{4}m/{s}_{\;}^{2}$
${x}_{4}^{\;}=v{t}_{4}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{4}^{2}$
$\frac{45}{8}=5{t}_{4}^{\;}+\frac{1}{2}×\frac{5}{4}{t}_{4}^{2}$
解得${t}_{4}^{\;}=1s$，${t}_{4}^{′}=-9s$（舍去）
$t={t}_{3}^{\;}+{t}_{4}^{\;}=\frac{11}{7}s$
答：（1）物塊運(yùn)動(dòng)到頂端B時(shí)速度為5m/s；
（2）物塊從底端A運(yùn)動(dòng)到頂端B所用的時(shí)間為2.1s；
（3）到達(dá)底端A時(shí)所用的時(shí)間為$\frac{11}{7}s$

點(diǎn)評(píng) 考查皮帶問(wèn)題，掌握滑塊處于皮帶上運(yùn)動(dòng)情況，是解題的關(guān)鍵，同時(shí)掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用．