Question

14．如圖所示，在直角坐標(biāo)系Oxy平面的第三、四象限內(nèi)分別存在著垂直于Oxy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第三象限的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是第四象限的2倍，方向相反．質(zhì)量、電荷量相同的負(fù)粒子a、b，某時(shí)刻以大小相同的速度分別從x軸上的P、Q兩點(diǎn)沿y軸負(fù)方向垂直射入第四、三象限磁場(chǎng)區(qū)域．已知a粒子在離開第四象限磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸的夾角為60°，且a在第四象限磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間是b粒子在第三象限磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間的4倍．不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力．求：a、b兩粒子經(jīng)Y軸時(shí)距原點(diǎn)O的距離之比．

Answer 1

分析 根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑公式及周期公式，根據(jù)磁場(chǎng)強(qiáng)度之比求出半徑之比和周期之比，由ab兩粒子運(yùn)行時(shí)間關(guān)系求得b粒子在第三象限中運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)過的圓心角，進(jìn)而即可求解．

解答 a、b兩粒子經(jīng)Y軸時(shí)距距原點(diǎn)O的距離之比為$\frac{y_a}{y_b}=\frac{{2\sqrt{3}}}{1}$
解：設(shè)第三象限內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，第四象限內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，
粒子a、b質(zhì)量為m電荷量大小為q進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$，
解得：$R=\frac{mv}{qB}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，
由題設(shè)條件有：R_a=2R_bT_a=2T_b，
設(shè)b粒子在第三象限中運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)過的圓心角為α，由a、b兩粒子運(yùn)行時(shí)間關(guān)系有：
t_a=4t_b即：$\frac{1}{6}{T_a}=4\frac{α}{2π}{T_b}$，
解得：α=30°
則有：$\frac{y_a}{y_b}=\frac{{{R_a}sin60}}{{{R_b}sin30}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{1}$；
答：a、b兩粒子經(jīng)Y軸時(shí)距距原點(diǎn)O的距離之比為$\frac{2\sqrt{3}}{1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，要求同學(xué)們會(huì)計(jì)算運(yùn)動(dòng)的半徑及周期，并能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度適中．